- Questão 12. Ache uma fórmula para calcular a soma
.
Passo 1
O enunciado pede uma fórmula fechada para a soma
sabendo que
. Informações dadas:
- A soma é uma série infinita de potências em
. - A condição de convergência fornecida é
.
O objetivo é encontrar uma expressão em função deque seja igual a essa soma quando .
Passo 2
Lembrete útil que vamos usar (é um fato básico sobre séries geométricas).
Para vale a soma da série geométrica:
Para
Aqui cada termo é
e a soma converge porque
. Uma demonstração rápida: os somatórios parciais são
e, quando
,
se
, daí o limite é
.
Passo 3
Estratégia para obter
: observar que os coeficientes
aparecem naturalmente ao derivar termo a termo uma série de potências. Mais precisamente, se uma série de potências
converge numa vizinhança de
, pode-se diferenciá‑la termo a termo dentro do raio de convergência. A razão é que a derivada de
é
, exatamente o fator que queremos.
Passo 4
Aplicando a ideia à série geométrica. Partimos de
Derivando ambos os lados em relação a
(dentro de
isso é permitido para séries de potências) obtemos, no lado esquerdo, a derivada termo a termo:
Observe que o termo com
some porque a derivada de
é zero.
Passo 5
Agora derivamos o lado direito. Calculando a derivada de
temos
Portanto a igualdade das derivadas é
Passo 6
Multiplicamos a igualdade anterior por
para ajustar os expoentes e obter a soma desejada:
Como o termo
da série original
é zero, temos que
válido para
.
Passo 7
Checagem rápida com um exemplo numérico: para
a fórmula dá
e os primeiros termos da série
aproximam
, o que confirma a consistência da fórmula. Lembrete final: a derivação termo a termo foi justificada porque
está dentro do raio de convergência da série geométrica.