• Questão 12. Ache uma fórmula para calcular a soma \sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n},|x|<1.

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula fechada para a soma
\sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n}
sabendo que |x|<1. Informações dadas:
  • A soma é uma série infinita de potências em x.
  • A condição de convergência fornecida é |x|<1.
    O objetivo é encontrar uma expressão em função de x que seja igual a essa soma quando |x|<1.

Passo 2

Lembrete útil que vamos usar (é um fato básico sobre séries geométricas).
Para |x|<1 vale a soma da série geométrica:
\sum_{n=0}^{+\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Aqui cada termo é x^{n} e a soma converge porque |x|<1. Uma demonstração rápida: os somatórios parciais são \sum_{n=0}^{N} x^{n}=\dfrac{1-x^{N+1}}{1-x} e, quando N\to\infty, x^{N+1}\to0 se |x|<1, daí o limite é \dfrac{1}{1-x}.

Passo 3

Estratégia para obter \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}: observar que os coeficientes n aparecem naturalmente ao derivar termo a termo uma série de potências. Mais precisamente, se uma série de potências \sum a_n x^n converge numa vizinhança de 0, pode-se diferenciá‑la termo a termo dentro do raio de convergência. A razão é que a derivada de x^n é n x^{n-1}, exatamente o fator que queremos.

Passo 4

Aplicando a ideia à série geométrica. Partimos de
\sum_{n=0}^{+\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Derivando ambos os lados em relação a x (dentro de |x|<1 isso é permitido para séries de potências) obtemos, no lado esquerdo, a derivada termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{+\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}.
Observe que o termo com n=0 some porque a derivada de x^{0}=1 é zero.

Passo 5

Agora derivamos o lado direito. Calculando a derivada de \dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1} temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{d}{dx}\bigl((1-x)^{-1}\bigr)=(1-x)^{-2}.
Portanto a igualdade das derivadas é
\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 6

Multiplicamos a igualdade anterior por x para ajustar os expoentes e obter a soma desejada:
x\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}=\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Como o termo n=0 da série original \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n} é zero, temos que
\sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n}=\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},
válido para |x|<1.

Passo 7

Checagem rápida com um exemplo numérico: para x=\tfrac{1}{2} a fórmula dá
\frac{x}{(1-x)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=2,
e os primeiros termos da série \tfrac{1}{2}+ \tfrac{2}{4}+ \tfrac{3}{8}+ \tfrac{4}{16}+\dots aproximam 2, o que confirma a consistência da fórmula. Lembrete final: a derivação termo a termo foi justificada porque |x|<1 está dentro do raio de convergência da série geométrica.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}

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