Calcule as séries de Maclaurin das funções abaixo e seus respectivos raios de convergência. Discuta a convergència para a função dada. Sugestão: no último item, utilize a série binomial do exercício anterior.
f(x)=\sin ^{2}(x).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a série de Maclaurin de f(x)=\sin^{2}(x), determinar o seu raio de convergência e discutir para quais x essa série converge para a própria função. Informação dada: a função é f(x)=\sin^{2}(x). Não há outras condições extra.

Passo 2

Primeira ideia: usar uma identidade trigonométrica que simplifica bastante o trabalho. A identidade dupla para o cosseno é
\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x).
Rearranjando obtemos a fórmula útil
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Essa manipulação é prática porque já conhecemos a série de Maclaurin de \cos(u) e basta fazer u=2x.

Passo 3

Lembrete rápido sobre série de Taylor/Maclaurin: a série de Maclaurin de uma função g(u) é
g(u)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}u^{k},
quando a função é analítica em torno de 0. Para \cos(u) as derivadas em 0 formam o padrão 1, 0, -1, 0, 1, … então só aparecem potências pares. Assim a série de Maclaurin de \cos(u) é a clássica
\cos(u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{4}}{4!}-\frac{u^{6}}{6!}+\cdots.

Passo 4

Agora substituímos u=2x na série de \cos(u). Temos
\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 5

Usando a identidade do Passo 2,
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Note que o termo n=0 da soma é (-1)^{0}\frac{2^{0}x^{0}}{0!}=1, então \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot1=0 e a constante some; podemos reescrever a soma a partir de n=1:
\sin^{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n}.
Esse é o termo geral. Vamos também mostrar os primeiros termos explicitamente, que é útil para reconhecer o padrão:
calculemos alguns n:
  • n=1: coeficiente =(-1)^{2}\frac{2^{1}}{2!}=1 → termo x^{2}.
  • n=2: coeficiente =(-1)^{3}\frac{2^{3}}{4!}=-\frac{8}{24}=-\frac{1}{3} → termo -\frac{1}{3}x^{4}.
  • n=3: coeficiente =\frac{2^{5}}{6!}=\frac{32}{720}=\frac{2}{45} → termo \frac{2}{45}x^{6}.
  • n=4: coeficiente =-\frac{2^{7}}{8!}=-\frac{128}{40320}=-\frac{1}{315} → termo -\frac{1}{315}x^{8}.
Portanto, escrevendo os primeiros termos:
\sin^{2}(x)=x^{2}-\frac{1}{3}x^{4}+\frac{2}{45}x^{6}-\frac{1}{315}x^{8}+\cdots,
e o termo geral é o que foi dado acima.

Passo 6

Agora o raio de convergência. Podemos usar o teste da razão sobre os coeficientes do polinômio em x^{2n}. Tome o módulo do coeficiente (sem o sinal alternado)
c_{n}=\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}.
Calcule a razão
\frac{c_{n+1}}{c_{n}} =\frac{2^{2(n+1)-1}/(2n+2)!}{2^{2n-1}/(2n)!} =\frac{2^{2}}{(2n+2)(2n+1)} =\frac{4}{(2n+2)(2n+1)}.
Ao incluir o fator x^{2n} a razão entre termos consecutivos fica
\left|\frac{c_{n+1}x^{2(n+1)}}{c_{n}x^{2n}}\right| =|x|^{2}\cdot\frac{4}{(2n+2)(2n+1)}.
Fazendo n\to\infty o fator \frac{4}{(2n+2)(2n+1)}\to 0, logo o limite é 0 para todo x finito. Pelo teste da razão isso implica que a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, o raio de convergência é infinito:
R=\infty.

Passo 7

Discussão da convergência para a função dada: a série que encontramos veio diretamente da série de \cos(2x) pela identidade \sin^{2}(x)=\tfrac{1-\cos(2x)}{2}. Como \cos(2x) tem expansão de Maclaurin válida para todo x (função inteira), a expansão obtida representa exatamente \sin^{2}(x) para todo x\in\mathbb{R}. Alternativamente, nota-se que \sin(x) é inteira e a composição quadrática \sin^{2}(x) é também uma função analítica em toda a reta; portanto sua série de Maclaurin converge para a própria função em todo \mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \sin^{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n}=x^{2}-\frac{1}{3}x^{4}+\frac{2}{45}x^{6}-\frac{1}{315}x^{8}+\cdots\n
\displaystyle R=\infty\n
\displaystyle\text{A série converge para }\sin^{2}(x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}.é

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