Calcule as séries de Maclaurin das funções abaixo e seus respectivos raios de convergência. Discuta a convergència para a função dada. Sugestão: no último item, utilize a série binomial do exercício anterior. f(x)=\sin ^{2}(x).
Passo 1
O enunciado pede: calcular a série de Maclaurin de f(x)=\sin^{2}(x), determinar o seu raio de convergência e discutir para quais x essa série converge para a própria função. Informação dada: a função é f(x)=\sin^{2}(x). Não há outras condições extra.
Passo 2
Primeira ideia: usar uma identidade trigonométrica que simplifica bastante o trabalho. A identidade dupla para o cosseno é
\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x).
Rearranjando obtemos a fórmula útil
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Essa manipulação é prática porque já conhecemos a série de Maclaurin de \cos(u) e basta fazer u=2x.
Passo 3
Lembrete rápido sobre série de Taylor/Maclaurin: a série de Maclaurin de uma função g(u) é
quando a função é analítica em torno de 0. Para \cos(u) as derivadas em 0 formam o padrão 1, 0, -1, 0, 1, … então só aparecem potências pares. Assim a série de Maclaurin de \cos(u) é a clássica
Note que o termo n=0 da soma é (-1)^{0}\frac{2^{0}x^{0}}{0!}=1, então \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot1=0 e a constante some; podemos reescrever a soma a partir de n=1:
Agora o raio de convergência. Podemos usar o teste da razão sobre os coeficientes do polinômio em x^{2n}. Tome o módulo do coeficiente (sem o sinal alternado)
Fazendo n\to\infty o fator \frac{4}{(2n+2)(2n+1)}\to 0, logo o limite é 0 para todo x finito. Pelo teste da razão isso implica que a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Passo 7
Discussão da convergência para a função dada: a série que encontramos veio diretamente da série de \cos(2x) pela identidade \sin^{2}(x)=\tfrac{1-\cos(2x)}{2}. Como \cos(2x) tem expansão de Maclaurin válida para todo x (função inteira), a expansão obtida representa exatamente \sin^{2}(x) para todo x\in\mathbb{R}. Alternativamente, nota-se que \sin(x) é inteira e a composição quadrática \sin^{2}(x) é também uma função analítica em toda a reta; portanto sua série de Maclaurin converge para a própria função em todo \mathbb{R}.
Resposta
\displaystyle \sin^{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n}=x^{2}-\frac{1}{3}x^{4}+\frac{2}{45}x^{6}-\frac{1}{315}x^{8}+\cdots\n \displaystyle R=\infty\n \displaystyle\text{A série converge para }\sin^{2}(x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}.é