Calcule as séries de Maclaurin das funções abaixo e seus respectivos raios de convergência. Discuta a convergència para a função dada. Sugestão: no último item, utilize a série binomial do exercício anterior.
f(x)=\left(4+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(4+x^{2}\right)^{\tfrac{1}{2}}
e pede três coisas: (i) a série de Maclaurin de f (ou seja, a expansão em torno de x=0), (ii) o raio de convergência dessa série e (iii) discutir a convergência da série em relação à função dada (se e onde a série converge para f(x)). As informações relevantes: a função está escrita como uma raiz quadrada de 4+x^{2}; não há mais dados numéricos nem figuras.

Passo 2

Vamos usar a série binomial (uma ferramenta padrão para expandir (1+t)^{\alpha} em série de potências). A fórmula é:
(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} t^{n},
válida para |t|<1, onde os coeficientes binomiais generalizados são
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
e, por convenção, \binom{\alpha}{0}=1. Aqui \alpha pode ser qualquer número real (ou complexo). Vou explicar o que cada símbolo significa: \alpha é o expoente geral (no nosso caso será \tfrac{1}{2}), t é a pequena quantidade em torno de 0 que estamos expandindo, e n! é o fatorial de n.

Passo 3

Colocamos f numa forma adequada para aplicar a série binomial. Fatoramos 4 dentro da raiz:
f(x)=\left(4+x^{2}\right)^{\tfrac{1}{2}}=2\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)^{\tfrac{1}{2}}.
Aqui eu usei a propriedade (a b)^{1/2}=a^{1/2} b^{1/2} com a=4 e b=1+\frac{x^{2}}{4}.

Passo 4

Agora aplicamos a série binomial com \alpha=\tfrac{1}{2} e t=\dfrac{x^{2}}{4}. Usando a fórmula,
\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)^{\tfrac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\tfrac{1}{2}}{n}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}.
Multiplicando por 2, obtemos a série de Maclaurin de f:
f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\tfrac{1}{2}}{n}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}.

Passo 5

Vamos escrever explicitamente o termo genérico em potência de x. O termo geral é de ordem x^{2n}; o coeficiente de x^{2n} é
a_{n}=2\binom{\tfrac{1}{2}}{n}4^{-n}.
Portanto a série pode ser escrita como
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{2n}\qquad\text{com}\qquad a_{n}=2\binom{\tfrac{1}{2}}{n}4^{-n}.
Se quiseres, podemos também escrever \binom{\tfrac{1}{2}}{n} de forma explícita:
\binom{\tfrac{1}{2}}{n}=\frac{\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}-1\right)\left(\tfrac{1}{2}-2\right)\cdots\left(\tfrac{1}{2}-n+1\right)}{n!}.

Passo 6

Calculemos os primeiros termos para ficar concreto (isso ajuda muito na prova — mostre os primeiros 3–4 termos):
  • Para n=0: \binom{\tfrac{1}{2}}{0}=1, logo o termo é 2.
  • Para n=1: \binom{\tfrac{1}{2}}{1}=\tfrac{1}{2}, termo: 2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{4}=\frac{x^{2}}{4}.
  • Para n=2: \binom{\tfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{(1/2)(-1/2)}{2}=-\dfrac{1}{8}, termo: 2\cdot\left(-\dfrac{1}{8}\right)\cdot\frac{x^{4}}{16}=-\dfrac{1}{64}x^{4}.
  • Para n=3: \binom{\tfrac{1}{2}}{3}=\dfrac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}=\dfrac{1}{16}, termo: 2\cdot\dfrac{1}{16}\cdot\frac{x^{6}}{64}=\dfrac{1}{512}x^{6}.
Portanto os primeiros termos são
f(x)=2+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{4}}{64}+\frac{x^{6}}{512}+\cdots.

Passo 7

Agora determinamos o raio de convergência. Podemos usar o critério do quociente (ratio test) ou a condição |t|<1 da série binomial. Como t=\dfrac{x^{2}}{4}, a condição |t|<1 fica
\left|\frac{x^{2}}{4}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x|^{2}<4\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<2.
Logo o raio de convergência é R=2. Para ver isso com o quociente rapidamente: se chamarmos o termo geral b_{n}=a_{n}x^{2n}, one encontra
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right|=\left|\frac{x^{2}}{4}\right|,
e exigindo que esse limite seja <1 dá exatamente |x|<2.

Passo 8

Discussão da convergência em relação à função f:
  • Para |x|<2: a série de Maclaurin converge e, por ser a série de Taylor de uma função analítica em torno de 0, converge para f(x). Uma maneira intuitiva de ver isso é que a função \left(4+x^{2}\right)^{1/2} é representável por sua série de Taylor em todo disco complexo centrado em 0 até o ponto singular mais próximo; aqui os singularidades (raízes de 4+x^{2}=0) ocorrem em x=\pm 2i, cuja distância a 0 é 2. Isso dá o mesmo raio 2.
  • Para x=\pm 2 (os extremos): temos t=\dfrac{x^{2}}{4}=1. A série binomial com \alpha=\tfrac{1}{2} converge em t=1 (neste caso ela converge absolutamente porque os coeficientes decaem como n^{-3/2}), e a soma é (1+1)^{1/2}=\sqrt{2}. Multiplicando por 2 obtemos 2\sqrt{2}, que é exatamente f(\pm 2)=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. Portanto a série também converge e converge para o valor da função em x=\pm 2.
  • Para |x|>2: a série diverge. Fora do intervalo [-2,2] a expansão em potências de x centrada em 0 não representa f.
Resumindo a convergência: a série converge para f(x) para |x|<2, e também converge para f(x) em x=\pm 2; portanto a série converge para f(x) em todo o intervalo real [-2,2].

Resposta

f(x)=\left(4+x^{2}\right)^{\tfrac{1}{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\tfrac{1}{2}}{n}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{n}=2+\frac{x^{2}}{4}-\frac{x^{4}}{64}+\frac{x^{6}}{512}+\cdots
Raio de convergência: R=2.\newline
Discussão: a série converge e coincide com f(x) para |x|<2; converge também em x=\pm 2 e nessas pontos a soma é f(\pm 2)=2\sqrt{2}.

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