Ache o raio e intervalo de convergência das séries:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em :
O que queremos é o raio de convergência e o intervalo de convergência em termos de . Para isso, vamos usar o teste da razão (ou do radical), que é padrão para séries de potências.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, consideramos
de modo que o termo geral é . O teste da razão diz que a série converge se
Agora precisamos investigar o comportamento da série nos extremos |x+pi|=1.
Passo 5
Extremo direito: x+pi = 1 implica x = -pi + 1. A série torna-se
sumn=1^infty 1^nraizn = sumn=1^infty 1raizn,
que é a série sum n^-1/2. Sabemos que sum n^-p diverge para p <= 1. Aqui p = 1/2<=1, logo diverge. Portanto não incluímos x=-pi+1.
Passo 6
Extremo esquerdo: x+pi = -1 implica x = -pi -1. A série fica
sumn=1^infty (-1)^nraizn,
que é uma série alternada com termo geral em módulo 1/raizn decrescente e tendendo a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (mas não absolutamente). Logo x=-pi-1 deve ser incluído.