Ache o raio e intervalo de convergência das séries:
sumn=1^infty (x+pi)^nraizn

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em x=-pi:
sumn=1^infty (x+pi)^nraizn
O que queremos é o raio de convergência R e o intervalo de convergência em termos de x. Para isso, vamos usar o teste da razão (ou do radical), que é padrão para séries de potências.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos
an = 1raizn e z = x+pi,
de modo que o termo geral é an,z^n. O teste da razão diz que a série converge se
L = limntoinfty |an+1,z^,n+1an,z^n| < 1
Vamos calcular esse limite.

Passo 3

Substituindo an no quociente da razão, temos
|an+1,z^,n+1an,z^n| = |z|;1/raiz,n+1,1/raizn = |z|;raiznn+1 ;xrightarrow[ntoinfty];|z|
Logo, a série converge se |z|<1, ou seja, se
|x+pi| < 1
Isto nos dá o raio de convergência
R = 1

Passo 4

Do raio R=1 segue que a convergência absoluta ocorre em
-1 < x+pi < 1 Long<=ftrightarrow -pi - 1 < x < -pi + 1
Agora precisamos investigar o comportamento da série nos extremos |x+pi|=1.

Passo 5

Extremo direito: x+pi = 1 implica x = -pi + 1. A série torna-se
sumn=1^infty 1^nraizn = sumn=1^infty 1raizn,
que é a série sum n^-1/2. Sabemos que sum n^-p diverge para p <= 1. Aqui p = 1/2<=1, logo diverge. Portanto não incluímos x=-pi+1.

Passo 6

Extremo esquerdo: x+pi = -1 implica x = -pi -1. A série fica
sumn=1^infty (-1)^nraizn,
que é uma série alternada com termo geral em módulo 1/raizn decrescente e tendendo a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (mas não absolutamente). Logo x=-pi-1 deve ser incluído.

Resposta

Raio de convergência:
R = 1
Intervalo de convergência:
-pi - 1 ;<=; x ;<; -pi + 1

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