Ache o raio e intervalo de convergência das séries:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 x^nraizn

Passo 1

Temos a série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1x^nraizn
O que precisamos é (i) o raio de convergência R e (ii) o intervalo de convergência. Para isso usaremos o teste da raiz para o raio e depois analisaremos os extremos x=1 e x=-1 com o teste de Leibniz e o teste da série p.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz:
limsupntoinftyraiz[n]l|(-1)^n+1x^nraiznr| =limsupntoinfty|x|n^1/(2n) =|x|cdotlimntoinftyn^-1/(2n)
Como limntoinftyn^-1/(2n)=1, a condição de convergência é
|x|<1
Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Agora verificamos o extremo x=1. A série fica
sumn=1^infty(-1)^n+11^nraizn =sumn=1^infty(-1)^n+11raizn
Os termos bn=1/raizn são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz, essa série alternada converge.

Passo 4

Em x=-1 a série torna-se
sumn=1^infty(-1)^n+1(-1)^nraizn =sumn=1^infty(-1)^2n+1raizn =sumn=1^inftyl(-1r)1raizn =-sumn=1^infty1raizn
Como sum1/raizn é uma série p com p=tfrac12<1, ela diverge, e portanto este extremo não entra no intervalo.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1].

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