Sejam B=(e1, e2) e C=(f1, f2) duas bases para V^2. Se f1=(a11, a21)B e f2= (a12 cdot a22)B, determine relação entre as coordenadas de u com relação às bases B e C. Experimente apresentar essa relação de forma matricial.

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial de dimensão 2 temos duas bases
B=(e1,e2) e
C=(f1,f2),
sendo as coordenadas de fj na base B dadas por
f1=(a11,a21)B, f2=(a12,a22)B
Queremos relacionar as coordenadas de um vetor arbitrário vec u nas duas bases.
O conteúdo usado será mudança de base e matrizes de passagem.

Passo 2

Seja
então as coordenadas de em são
Analogamente, escrevendo
as coordenadas em são

Passo 3

Como f1 e f2 têm coordenadas em B, montamos a matriz de passagem de C para B:
A = a11 & a12 a21 & a22 ,
cuja primeira coluna é f1 B e a segunda é f2 B.
Então, ao escrever
vec u = y1,f1 + y2,f2
e traduzir isso para coordenadas em B, obtemos
(u)B = A,(u)C

Passo 4

Portanto, a relação matricial entre as coordenadas é
(u)B = A,(u)C e, invertendo (se (det Aneq0)), (u)C = A^-1,(u)B

Resposta

(u)B = a11 & a12 a21 & a22 ,(u)C e (u)C = a11 & a12 a21 & a22 ^!-1 ,(u)B

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