Encontre o limite de cada função
lim x 0(1+4 x)^3 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0(1+4x)^3/x
Este é um limite do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de transformação logarítmica, que converte potências em produtos, facilitando a avaliação do limite.

Passo 2

Definimos
f(x) = (1+4x)^3/x
Como f(x)>0, podemos escrever
f(x) = expl(ln f(x)r) = exp!l(3x,ln(1+4x)r)
Assim, basta calcular o limite do expoente e depois aplicar a exponencial.

Passo 3

Analisamos o expoente
E(x)=3x,ln(1+4x)
Quando xto0, temos ln(1+4x)to0 e xto0, gerando uma indetermina\c{c}~ao 0/0. Aplicamos a regra de l’H^{o}pital:
L=limxto0E(x) =limxto03,ln(1+4x)x =limxto03cdotddxl[ln(1+4x)r]ddx[x] =limxto03cdot41+4x1 =3cdot41 =12

Resposta

e^12

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