Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores:
(2,1,1),(3,-4,6),(4,-9,11) do V3(R).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar relações lineares não triviais entre os vetores
(2,1,1), (3,-4,6) e (4,-9,11) em R^3.
Isso é um problema de dependência linear: queremos coeficientes a,b,c, não todos zero, tais que
a,(2,1,1)+b,(3,-4,6)+c,(4,-9,11)=0

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos a zero coordenada a coordenada. São as equações:
2a+3b+4c=0, a-4b-9c=0, a+6b+11c=0

Passo 3

Para eliminar variáveis, subtraímos a segunda equação da terceira:
(a+6b+11c)-(a-4b-9c)=0-0 Longrightarrow 10b+20c=0 Longrightarrow b=-2c

Passo 4

Substituímos b=-2c em qualquer uma das demais, por exemplo na primeira:
2a+3(-2c)+4c=0 Longrightarrow 2a-6c+4c=0 Longrightarrow 2a-2c=0 Longrightarrow a=c

Passo 5

Logo a solução geral é
(a,b,c)=(t,-2t,t), tinR
Escolhendo t=1 obtemos a relação não trivial mais simples:
1cdot(2,1,1)-2cdot(3,-4,6)+1cdot(4,-9,11)=0,
ou seja
v1-2v2+v3=0

Resposta

A única relação linear não trivial, até escala, é
(1,-2,1),
isto é,
v1-2v2+v3=0

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