4 Mediante quais circunstâncias o conjunto de todos os vetores da equação
é um subespaço do
?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
Queremos saber quando
é subespaço de
. Para isso, lembro que um subespaço deve (i) conter o vetor zero e (ii) ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Verifico a condição de conter o vetor zero. Para
ter
é preciso que
Logo, se
, o zero não está em
e
não pode ser subespaço. Concluímos que é necessário ter
.
Passo 3
Supondo
, o conjunto fica
ou seja, o espaço de soluções de uma equação linear homogênea. Para
temos
e para
Assim
é fechado em soma e escalar, logo é subespaço.
Resposta
O conjunto é subespaço de
se e somente se
.