4 Mediante quais circunstâncias o conjunto de todos os vetores da equação
a1 x1+a2 x2+ldots+an xn=c
(a1, ldots, an in K) é um subespaço do Vn(K) ?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x1,dots,xn)in Vn(K) mid a1x1+cdots+anxn=c
Queremos saber quando S é subespaço de Vn(K). Para isso, lembro que um subespaço deve (i) conter o vetor zero e (ii) ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verifico a condição de conter o vetor zero. Para (0,dots,0) ter a10+cdots+an0=c é preciso que
0 = c
Logo, se cneq0, o zero não está em S e S não pode ser subespaço. Concluímos que é necessário ter c=0.

Passo 3

Supondo c=0, o conjunto fica
S = xin Vn(K) mid a1x1+cdots+anxn=0,
ou seja, o espaço de soluções de uma equação linear homogênea. Para x,yin S temos
a1(x1+y1)+cdots+an(xn+yn) =(a1x1+cdots+anxn) +(a1y1+cdots+anyn) =0+0=0,
e para lambdainK
a1(lambda x1)+cdots+an(lambda xn) =lambda,(a1x1+cdots+anxn) =lambdacdot0=0
Assim S é fechado em soma e escalar, logo é subespaço.

Resposta

O conjunto é subespaço de Vn(K) se e somente se c=0.

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