Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores:
(2,1),(-1,3),(4,2) do V2(R).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as relações lineares não triviais entre os vetores (2,1), (-1,3) e (4,2) em V2(R). Ou seja, queremos valores (a,b,c), não todos zero, tais que
a,(2,1)+b,(-1,3)+c,(4,2)=(0,0)

Passo 2

Traduzimos a combinação linear em um sistema para as componentes x e y:
2a - b + 4c = 0, a + 3b + 2c = 0

Passo 3

Da segunda equação isolamos a:
a = -3b - 2c
Substituindo na primeira:
2(-3b - 2c) - b + 4c = 0 ;Longrightarrow; -6b - 4c - b + 4c = 0 ;Longrightarrow; -7b = 0 ;Longrightarrow; b = 0
Logo a = -2c e a solução geral é
(a,b,c) = c,(-2,0,1),
com cneq0 para termos uma relação não trivial.

Passo 4

Isso significa que toda relação linear não trivial é múltiplo de
-2,(2,1) + 0,(-1,3) + 1,(4,2) = (0,0)
Em particular, podemos escolher c=1 e obter a relação básica.

Resposta

A única relação linear não trivial (até múltiplo escalar) é
-2,(2,1) + (4,2) = (0,0),
ou seja, o espaço das relações é gerado pelo vetor (-2,0,1).

Exercícios relacionados