6 Mostre que (1,1,-1),(2,-3,5),(-2,1,4) do V3(R) são linearmente independentes.

Passo 1

Temos os vetores (1,1,-1), (2,-3,5) e (-2,1,4) em R^3 e queremos mostrar que eles são linearmente independentes. Lembrando que um conjunto de três vetores em R^3 é linearmente independente se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como colunas for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são esses vetores:
A = 1 & 2 & -2 1 & -3 & 1 -1 & 5 & 4

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet-3 & 15 & 4 -2cdotdet1 & 1-1 & 4 +(-2)cdotdet1 & -3-1 & 5
Agora cada menor:
det-3 & 15 & 4 =-3cdot4 - 1cdot5 = -12 -5 = -17,
det1 & 1-1 & 4 =1cdot4 - 1cdot(-1) = 4 +1 = 5,
det1 & -3-1 & 5 =1cdot5 - (-3)cdot(-1) = 5 -3 = 2
Substituindo em det(A):
det(A) = 1cdot(-17) -2cdot5 +(-2)cdot2 = -17 -10 -4 = -31 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq0, concluímos pelo critério do determinante que os vetores não são combinação linear não-trivial entre si. Logo eles são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (1,1,-1), (2,-3,5) e (-2,1,4) são linearmente independentes.

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