Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências (série de Taylor) de ao redor de , além de determinar o raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor para funções infinitamente diferenciáveis:
Passo 2
Precisamos das derivadas de e de seus valores em . As derivadas ciclam a cada quatro:
E em vale
Passo 3
Avaliam-se as derivadas em :
e depois volta a se repetir a cada quatro ordens.
Passo 4
Substituindo na fórmula de Taylor obtemos os primeiros termos e a regra de repetição de período 4:
onde, usando os valores acima,
Por exemplo, os cinco primeiros termos são
Passo 5
Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão aos coeficientes gerais . Como para qualquer x fixo, a série converge para todo x. Em outras palavras, cos x é função inteira e o raio de convergência é infinito.
Resposta
cos x =summ=0^inftygl[ tfrac12(4m)!(x-tfracpi3)^4m +-tfracraiz32(4m+1)!(x-tfracpi3)^4m+1