Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto e determine o raio de convergência.
f(x)=cos x ; a=pi3

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências (série de Taylor) de f(x)=cos x ao redor de a=tfracpi3, além de determinar o raio de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor para funções infinitamente diferenciáveis:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!,(x-a)^n

Passo 2

Precisamos das derivadas de cos x e de seus valores em x=a=tfracpi3. As derivadas ciclam a cada quatro:
f(x)=cos x, f'(x)=-sin x, f''(x)=-cos x, f'''(x)=sin x, f^(4)(x)=cos x,ldots
E em x=tfracpi3 vale
cosl(tfracpi3r)=tfrac12, sinl(tfracpi3r)=tfracraiz32

Passo 3

Avaliam-se as derivadas em a:
f(a)=tfrac12, f'(a)=-tfracraiz32, f''(a)=-tfrac12, f'''(a)=tfracraiz32,
e depois volta a se repetir a cada quatro ordens.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor obtemos os primeiros termos e a regra de repetição de período 4:
cos x =summ=0^inftygl[ f^(4m)(a)(4m)!(x-a)^4m +f^(4m+1)(a)(4m+1)!(x-a)^4m+1
+f^(4m+2)(a)(4m+2)!(x-a)^4m+2 +f^(4m+3)(a)(4m+3)!(x-a)^4m+3 gr]
onde, usando os valores acima,
f^(4m)(a)=tfrac12,; f^(4m+1)(a)=-tfracraiz32,; f^(4m+2)(a)=-tfrac12,; f^(4m+3)(a)=tfracraiz32
Por exemplo, os cinco primeiros termos são
tfrac12 -tfracraiz32(x-a) -tfrac12(x-a)^22! +tfracraiz32(x-a)^33! +tfrac12(x-a)^44! +cdots

Passo 5

Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão aos coeficientes gerais tfracf^(n)(a)n!. Como limntoinftyl|(x-a)r|/(n+1)=0 para qualquer x fixo, a série converge para todo x. Em outras palavras, cos x é função inteira e o raio de convergência é infinito.

Resposta

cos x =summ=0^inftygl[ tfrac12(4m)!(x-tfracpi3)^4m +-tfracraiz32(4m+1)!(x-tfracpi3)^4m+1
+-tfrac12(4m+2)!(x-tfracpi3)^4m+2 +tfracraiz32(4m+3)!(x-tfracpi3)^4m+3 gr],
Raio de convergência: R=infty.

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