Verifique se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais do espaço V sobre R.
W[cca & b c & d], a, b, c, d in R ; c=d-1;

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente tem um conjunto W que consiste em matrizes 2 times 2 com entradas reais, a, b, c, d , mas tem uma condição especial: c = d - 1 . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto W é um subespaço vetorial do espaço V de todas as matrizes 2 times 2 sobre R .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial:
  1. O conjunto não pode ser vazio.
  2. Deve ser fechado sob adição de vetores (matrizes, no caso).
  3. Deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos seguir passo a passo para verificar cada um desses critérios!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto W não está vazio. Para isso, a gente precisa encontrar pelo menos uma matriz que satisfaça a condição c = d - 1 .
Por exemplo, podemos escolher a = 0 , b = 0 , d = 1 . Então, c = 1 - 1 = 0 .
Isso nos dá a matriz:
0 & 0 0 & 1
Como existe pelo menos uma matriz em W , o conjunto não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em W e as somarmos, o resultado também deve estar em W .
Vamos considerar duas matrizes em W :
A = a1 & b1 c1 & d1 onde c1 = d1 - 1
B = a2 & b2 c2 & d2 onde c2 = d2 - 1
Somando A e B :
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2
Vamos verificar a condição para A + B :
c1 + c2 = (d1 - 1) + (d2 - 1) = (d1 + d2) - 2
Para A + B estar em W , precisamos que c1 + c2 = (d1 + d2) - 1 .
Mas vimos que c1 + c2 = (d1 + d2) - 2 , que é diferente de (d1 + d2) - 1 .
Portanto, A + B não satisfaz a condição de W , o que significa que W não é fechado sob adição.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos identificado que W não é fechado sob adição, vamos completar a análise verificando a multiplicação por escalar.
Se considerarmos um escalar k e uma matriz A em W :
A = a & b c & d onde c = d - 1
Multiplicando por k :
kA = k a & k b k c & k d
Verificando a condição para kA :
k c = k (d - 1) = k d - k
Para kA estar em W , precisamos que k c = k d - 1 .
Mas temos k c = k d - k , que só será igual a k d - 1 se k = 1 . Para outros valores de k , a condição não é satisfeita.
Então, W não é fechado sob multiplicação por escalar, a menos que k = 1 .

Resposta

Como o conjunto W não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial do espaço V sobre R .

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