Verifique se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais do espaço V sobre R.
(x, y, z, t) in R^4 ; 2 x-y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto (x, y, z, t) in R^4 ; 2x - y + z=0 é um subespaço vetorial do espaço R^4. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições importantes: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^4 é (0, 0, 0, 0). Substituindo na equação:
2(0) - 0 + 0 = 0
Isso simplifica para 0 = 0, que é verdadeiro. Então, o vetor zero está no conjunto. Isso é importante porque todo subespaço deve conter o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos supor que temos dois vetores (x1, y1, z1, t1) e (x2, y2, z2, t2) no conjunto. Então:
2x1 - y1 + z1 = 0 e 2x2 - y2 + z2 = 0
Somando essas duas equações:
2(x1 + x2) - (y1 + y2) + (z1 + z2) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que o vetor (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) também satisfaz a equação 2x - y + z = 0, ou seja, está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor do conjunto e multiplicarmos por um escalar qualquer (um número real), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos pegar um vetor qualquer (x, y, z, t) no conjunto, ou seja, 2x - y + z = 0, e multiplicar por um escalar k in R:
2(kx) - (ky) + (kz) = k(2x - y + z) = k cdot 0 = 0
Então, o vetor (kx, ky, kz, kt) também satisfaz a equação 2x - y + z = 0, estando, portanto, no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de R^4.

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