Verifique se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vetoriais do espaço
sobre
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o conjunto satisfaz três condições importantes: contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação:
Isso simplifica para
, que é verdadeiro. Então, o vetor zero está no conjunto. Isso é importante porque todo subespaço deve conter o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos supor que temos dois vetores
e
no conjunto. Então:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que o vetor
também satisfaz a equação
, ou seja, está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor do conjunto e multiplicarmos por um escalar qualquer (um número real), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos pegar um vetor qualquer
no conjunto, ou seja,
, e multiplicar por um escalar
:
Então, o vetor
também satisfaz a equação
, estando, portanto, no conjunto. Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de
.