Determinar o domínio das seguintes funções:
y=\frac{x}{\sqrt{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
y=\frac{x}{\sqrt{x+1}}.
Informações dadas:
\bullet A expressão do numerador é x.\n
\bullet A expressão do denominador é \sqrt{x+1}.\n
O que precisamos encontrar: todos os valores de x (reais) para os quais a expressão acima está bem definida.

Passo 2

Regras básicas que valem aqui (explicação didática):
\bullet A raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} em números reais só está definida quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para \sqrt{x+1} precisamos ter x+1\ge 0. Vou explicar: a raiz quadrada real de um número negativo não existe no conjunto dos reais (apenas nos complexos), então excluímos esses x.\n
\bullet Não se pode dividir por zero. Assim, precisamos também que o denominador \sqrt{x+1} seja diferente de zero. Vou explicar: divisão por zero é indefinida, então mesmo que a raiz exista (por exemplo \sqrt{0}), se ela for zero o quociente não existe.

Passo 3

Aplicando a primeira condição (radicando não negativo):
x+1\ge 0.
Resolvendo essa desigualdade subtraindo 1 dos dois lados:
x\ge -1.
Conclusão parcial: só podem ser considerados x com x\ge -1.

Passo 4

Aplicando a segunda condição (denominador não nulo):
Devemos excluir os x tais que \sqrt{x+1}=0. Isso acontece quando o radicando é zero, ou seja x+1=0, isto é x=-1. Portanto, ainda que x=-1 satisfaça x\ge -1, ele é proibido porque geraria divisão por zero:
\text{se }x=-1\text{ então }\sqrt{x+1}=\sqrt{0}=0\quad\text{e}\quad\frac{x}{\sqrt{x+1}}=\frac{-1}{0}\text{ (indefinido).}ã

Passo 5

Juntando as duas condições: precisamos de x\ge -1 e x\neq -1. Isso é equivalente a
x>-1.
Explicando com palavras: todos os x estritamente maiores que -1 tornam o radicando positivo (logo a raiz existe e é não nula) e, consequentemente, o quociente bem definido.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (mostrando que a ideia funciona na prática):
\bullet Para x=0:
y=\frac{0}{\sqrt{0+1}}=\frac{0}{1}=0,
está definido.\n
\bullet Para x=-\tfrac{1}{2}:
y=\frac{-\tfrac{1}{2}}{\sqrt{-\tfrac{1}{2}+1}}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{\sqrt{\tfrac{1}{2}}}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},
também está definido, mostrando que valores entre -1 e 0 funcionam.\n
\bullet Para x=-2: aqui x+1=-1<0, então \sqrt{x+1} não é real e a função não está definida.

Resposta

\,(-1,\infty)\,

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