Determinar o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função
Informações dadas:
A expressão do numerador é
.\n
A expressão do denominador é
.\n
O que precisamos encontrar: todos os valores de (reais) para os quais a expressão acima está bem definida.
O que precisamos encontrar: todos os valores de
Passo 2
Regras básicas que valem aqui (explicação didática):
A raiz quadrada
em números reais só está definida quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para
precisamos ter
. Vou explicar: a raiz quadrada real de um número negativo não existe no conjunto dos reais (apenas nos complexos), então excluímos esses
.\n
Não se pode dividir por zero. Assim, precisamos também que o denominador
seja diferente de zero. Vou explicar: divisão por zero é indefinida, então mesmo que a raiz exista (por exemplo
), se ela for zero o quociente não existe.
Passo 3
Aplicando a primeira condição (radicando não negativo):
Resolvendo essa desigualdade subtraindo
dos dois lados:
Conclusão parcial: só podem ser considerados
com
.
Passo 4
Aplicando a segunda condição (denominador não nulo):
Devemos excluir os tais que
. Isso acontece quando o radicando é zero, ou seja
, isto é
. Portanto, ainda que
satisfaça
, ele é proibido porque geraria divisão por zero:
Devemos excluir os
Passo 5
Juntando as duas condições: precisamos de
e
. Isso é equivalente a
Explicando com palavras: todos os
estritamente maiores que
tornam o radicando positivo (logo a raiz existe e é não nula) e, consequentemente, o quociente bem definido.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (mostrando que a ideia funciona na prática):
Para
:
está definido.\n
Para
:
também está definido, mostrando que valores entre
e
funcionam.\n
Para
: aqui
, então
não é real e a função não está definida.