02 Ache uma representação em série de potências de e^{-x} e e^{-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Achar uma representação em série de potências de e^{-x}.
  • Achar uma representação em série de potências de e^{-x^{2}}.
Informações relevantes dadas (implícitas):
  • Queremos séries de potências (ou seja, fórmulas da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n ou \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^{kn}).
  • Não foi dada restrição de intervalo, então também vou verificar a convergência dessas séries.

Passo 2

Vamos lembrar a expansão de Taylor (Maclaurin) da função e^{x} ao redor de 0. A ideia: os coeficientes da série de Taylor são f^{(n)}(0)/n!. Para f(x)=e^{x} temos f^{(n)}(x)=e^{x} para todo n, logo f^{(n)}(0)=e^{0}=1. Portanto a série de Maclaurin de e^{x} é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Para ficar bem prático, os primeiros termos são
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
Isso é algo frequentemente usado na prova: derivadas iguais e n! no denominador — por isso aparece 1/n!.

Passo 3

Agora é importante saber onde essa série converge (porque só vale representar se convergir). Usei o teste da razão (ratio test). Para a_n=\dfrac{x^{n}}{n!},
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right|=\frac{|x|}{n+1}.
Quando n\to\infty essa razão vai a 0 para todo x. Pelo teste da razão isso implica que a série converge para todo x\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito). Conclusão: a série de e^{x} converge absolutamente para qualquer x.

Passo 4

Para obter a série de e^{-x}, basta substituir x por -x na série de e^{x}. Substituição direta é permitida porque a série de e^{x} converge para todo x. Fazendo a troca:
e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}x^{n}.
Escrevendo os primeiros termos:
e^{-x}=1 - x + \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots.
Sobre a convergência: como é só uma substituição, continua convergindo para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito.
Dica prática para prova: se pedirem desenvolver em série até certa ordem, copie os primeiros termos acima e pare na ordem desejada; se pedirem erro da aproximação, veja o passo 6.

Passo 5

Para e^{-x^{2}} procedemos de forma análoga: substituir x por x^{2} e colocar o sinal negativo. Partindo da série de e^{x},
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}x^{2n}.
Primeiros termos:
e^{-x^{2}}=1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + \cdots.
Observações úteis para a prova:
  • A série contém apenas potências pares x^{2n}, então e^{-x^{2}} é uma função par (simetria x\mapsto -x).
  • Também aqui o raio de convergência é infinito (a mesma justificativa pelo teste da razão após a substituição).

Passo 6

Quer uma noção rápida de erro se for aproximar pela soma de N termos? Para e^{-x} o resto da série de Taylor (forma de Lagrange) pode ser escrito (para algum \xi entre 0 e x)
R_{N}(x)=\frac{e^{-\xi}}{(N+1)!}(-x)^{N+1}.
Daí uma cota simples em valor absoluto é
|R_{N}(x)|\le\frac{e^{|\!x\!|}}{(N+1)!}|x|^{N+1},
porque e^{-\xi}\le e^{|\!x\!|}. Essa desigualdade é prática em prova para garantir que a aproximação por N termos é suficientemente boa. Para e^{-x^{2}} há análoga forma de resto com fator e^{-\xi^{2}} e, de modo simples,
|R_{N}(x)|\le\frac{e^{x^{2}}}{(N+1)!}|x|^{2N+2}.
(essas cotas são conservadoras, mas fáceis de aplicar.)

Resposta

\displaystyle e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}x^{n}
\displaystyle e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}x^{2n}

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