(a) Ache uma representação em série de potências para x^2 e^-x. (b) Por derivação termo a termo da série de potências da parte (a), mostre que
sumn=1^+infty(-2)^n+1 n+2n!=4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) encontrar a série de potências de ,x^2e^-x,;
(b) usar derivação termo a termo dessa série para provar que
sumn=1^infty(-2)^n+1n+2n!=4
O conteúdo principal é a expansão de e^-x em série de potências e a justificativa de que podemos derivar termo a termo (convergência uniforme em compactos).

Passo 2

Começamos da série conhecida
e^-x=sumn=0^infty(-1)^nn!,x^n
Multiplicando por x^2
x^2e^-x =sumn=0^infty(-1)^nn!,x^n+2 =summ=2^infty(-1)^,m-2(m-2)!,x^m

Passo 3

Como a série converge uniformemente em todo intervalo compacto, podemos derivar termo a termo:
ddxl(x^2e^-xr) =summ=2^infty(-1)^m-2(m-2)!,m,x^m-1
Reescrevendo o índice com n=m-1 (então m=n+1, m-2=n-1 e n vai de 1 a infty),
ddxl(x^2e^-xr) =sumn=1^infty(-1)^n-1(n-1)!,(n+1),x^n =sumn=1^infty(-1)^n-1n+1(n-1)!,x^n

Passo 4

Por outro lado, calculemos diretamente a derivada:
ddxl(x^2e^-xr) =(2x,-,x^2),e^-x =x,e^-x,(2-x)
Agora avaliamos em x=2:
l(2e^-2,(2-2)r)=0
Na forma de série, quando x=2 temos
0 =sumn=1^infty(-1)^n-1n+1(n-1)!,2^n =sumn=1^infty(-2)^n-1(n-1)!,(n+1),2 =sumn=1^infty(-2)^nn+1(n-1)!
Note que
(-2)^nn+1(n-1)! =(-2)^n+1n+2n!;-;(-2)^120!,
pois comparando termos de mesma ordem em n. O termo de n=0 nessa última expressão é
(-2)^120!=-4
Logo, somando de n=0 até infty dá zero, ou seja
-4;+;sumn=1^infty(-2)^n+1n+2n!=0 Longrightarrow sumn=1^infty(-2)^n+1n+2n!=4

Resposta

sumn=1^infty(-2)^n+1n+2n!=4

Exercícios relacionados