(a) Ache uma representação em série de potências para
. (b) Por derivação termo a termo da série de potências da parte (a), mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) encontrar a série de potências de ;
(b) usar derivação termo a termo dessa série para provar que
(a) encontrar a série de potências de
(b) usar derivação termo a termo dessa série para provar que
O conteúdo principal é a expansão de
em série de potências e a justificativa de que podemos derivar termo a termo (convergência uniforme em compactos).
Passo 2
Começamos da série conhecida
Multiplicando por
dá
Passo 3
Como a série converge uniformemente em todo intervalo compacto, podemos derivar termo a termo:
Reescrevendo o índice com
(então
,
e
vai de 1 a
),
Passo 4
Por outro lado, calculemos diretamente a derivada:
Agora avaliamos em
:
Na forma de série, quando
temos
Note que
pois comparando termos de mesma ordem em
. O termo de
nessa última expressão é
Logo, somando de
até
dá zero, ou seja