Calcule os seguintes limites:
lim x 0 x e^1x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0x,e^1x
O assunto é limites com exponencial e formas indeterminadas tipo 0cdotinfty. Para decidir se existe o limite na origem, vamos calcular primeiro os limites laterais (direita e esquerda).

Passo 2

Analisando o limite pela direita xto0^+:
como x>0, fazemos a troca de variável
t = 1x, x=1t,
então quando xto0^+ temos tto+infty e
x,e^1x = 1t,e^t = e^tt
Esse é um quociente do tipo inftyinfty, então podemos usar a Regra de L’Hôpital ou observar que o exponencial cresce muito mais rápido que t. Usando L’Hôpital:
limtto+inftye^tt stackrelLH= limtto+infty(e^t)'(t)' = limtto+inftye^t1 = +infty
Logo
limxto0^+x,e^1x=+infty

Passo 3

Agora o limite pela esquerda ( xto0^-):
ainda definimos t=1/x, mas agora xto0^- implica tto-infty. Então
x,e^1x = e^tt com tto-infty
Aqui e^tto0 e tto-infty, então o quociente tende a zero (é do tipo tfrac0-infty). Logo
limxto0^-x,e^1x=0

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes
limxto0^+x,e^1x=+infty e limxto0^-x,e^1x=0,
o limite bidirecional em 0 não existe.

Resposta

O limite limxto0x,e^1x não existe.

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