Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o esboço do gráfico. Para isso vamos estudar:
– domínio e limites em ,
– assíntotas,
– derivada (monotonia e ponto crítico),
– segunda derivada (concavidade),
– pontos notáveis (intercepto e mínimo).
– domínio e limites em
– assíntotas,
– derivada (monotonia e ponto crítico),
– segunda derivada (concavidade),
– pontos notáveis (intercepto e mínimo).
Passo 2
Domínio: todos os reais.
Limites em :
Limites em
logo há assíntota oblíqua
Em
,
e
, sem assíntota.
Intercepto em :
Intercepto em
Passo 3
Derivada:
Solução de
:
Para
,
(função decrescente).
Para ,
(função crescente).
Portanto há um mínimo global em , com
Para
Portanto há um mínimo global em
Passo 4
Segunda derivada:
logo a curva é sempre convexa.
Passo 5
Juntando tudo, o gráfico:
– parte de para
, desce convexamente;
– atinge mínimo em ;
– cresce convexamente para e se aproxima da reta
sem tocá-la;
– cruza o eixo em
.
– parte de
– atinge mínimo em
– cresce convexamente para
– cruza o eixo
Resposta
Esboço do gráfico:
- Domínio: todos os reais.
- Assíntota oblíqua para
: . - Sem assíntota em
( ). - Mínimo global em
. - Intercepto com o eixo
em . - Decrescente em
, crescente em . - Função sempre convexa (
).