Esboce o gráfico.
y=2 x+1+e^-x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x+1+e^-x
e pede o esboço do gráfico. Para isso vamos estudar:
– domínio e limites em xtopminfty,
– assíntotas,
– derivada (monotonia e ponto crítico),
– segunda derivada (concavidade),
– pontos notáveis (intercepto e mínimo).

Passo 2

Domínio: todos os reais.
Limites em xto+infty:
e^-xto0Longrightarrow f(x)sim2x+1,
logo há assíntota oblíqua
y=2x+1
Em xto-infty, e^-xto+infty e f(x)to+infty, sem assíntota.
Intercepto em x=0:
f(0)=2cdot0+1+e^0=1+1=2

Passo 3

Derivada:
f'(x)=2 - e^-x
Solução de f'(x)=0:
e^-x=2;Longrightarrow;-x=ln2;Longrightarrow;x=-ln2
Para x<-ln2, e^-x>2implies f'(x)<0 (função decrescente).
Para x>-ln2, e^-x<2implies f'(x)>0 (função crescente).
Portanto há um mínimo global em x=-ln2, com
f(-ln2)=2(-ln2)+1+2=3-2ln2

Passo 4

Segunda derivada:
f''(x)=e^-x>0forall x,
logo a curva é sempre convexa.

Passo 5

Juntando tudo, o gráfico:
– parte de +infty para xto-infty, desce convexamente;
– atinge mínimo em l(-ln2,;3-2ln2r);
– cresce convexamente para +infty e se aproxima da reta y=2x+1 sem tocá-la;
– cruza o eixo y em (0,2).

Resposta

Esboço do gráfico:
  • Domínio: todos os reais.
  • Assíntota oblíqua para xto+infty: y=2x+1.
  • Sem assíntota em xto-infty ( f(x)to+infty).
  • Mínimo global em l(-ln2,;3-2ln2r).
  • Intercepto com o eixo y em l(0,2r).
  • Decrescente em l(-infty,-ln2r), crescente em l(-ln2,inftyr).
  • Função sempre convexa ( f''(x)>0).

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