Ache uma representação em série de Taylor para a função em torno do ponto a.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de Séries de Taylor. O objetivo é encontrar uma representação em série para a função $ f(x) = \cos x $ em torno do ponto $ a = \frac{\pi}{3} $. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Taylor e como calcular as derivadas da função $ \cos x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Série de Taylor. Para uma função $ f(x) $ desenvolvida em torno de um ponto $ a $, a série de Taylor é dada por:
Isso significa que precisamos calcular $ f(a) $ e as derivadas de $ f $ avaliadas em $ a $.
Passo 3
Vamos calcular $ f(a) $, onde $ a = \frac{\pi}{3} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as primeiras derivadas de $ f(x) = \cos x $:
E assim por diante, percebendo que as derivadas se repetem a cada 4 vezes.
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ a = \frac{\pi}{3} $:
Passo 6
Agora, vamos montar a série de Taylor usando os termos calculados:
Substituindo os valores:
Resposta
A representação em série de Taylor para $ \cos x $ em torno de $ a = \frac{\pi}{3} $ é: