Ache uma representação em série de Taylor para a função em torno do ponto a.
f(x)=cos x ; a=pi / 3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de Séries de Taylor. O objetivo é encontrar uma representação em série para a função $ f(x) = \cos x $ em torno do ponto $ a = \frac{\pi}{3} $. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Taylor e como calcular as derivadas da função $ \cos x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Série de Taylor. Para uma função $ f(x) $ desenvolvida em torno de um ponto $ a $, a série de Taylor é dada por:
f(x)
Isso significa que precisamos calcular $ f(a) $ e as derivadas de $ f $ avaliadas em $ a $.

Passo 3

Vamos calcular $ f(a) $, onde $ a = \frac{\pi}{3} $:
f(a)

Passo 4

Agora, vamos calcular as primeiras derivadas de $ f(x) = \cos x $:
f(x) = cos x
f'(x) = -sin x
f''(x) = -cos x
f'''(x) = sin x
E assim por diante, percebendo que as derivadas se repetem a cada 4 vezes.

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ a = \frac{\pi}{3} $:
a = pi3
f'(pi3) = -sin(pi3) = -raiz32
f''(pi3) = -cos(pi3) = -12
f'''(pi3) = sin(pi3) = raiz32

Passo 6

Agora, vamos montar a série de Taylor usando os termos calculados:
cos x = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + dots
Substituindo os valores:
cos x = 12 - raiz32(x - pi3) - 14(x - pi3)^2 + raiz312(x - pi3)^3 + dots

Resposta

A representação em série de Taylor para $ \cos x $ em torno de $ a = \frac{\pi}{3} $ é:
cos x

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