Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde
;
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa calcular
limx to 1 f(x)-f(1)x-1 para a função por partes
definida por
definida por
O conteúdo envolve limites e a necessidade de avaliar os limites laterais por conta da quebra em
x=1 .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
f(1) . Como
1>=1 , usamos a regra
f(x)=x+1 . Assim,
Passo 3
Agora calculamos o limite pela direita, isto é,
xto1^+ . Para
x>1 , vale
f(x)=x+1 , então
Logo,
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1 .
Passo 4
Em seguida, calculamos o limite pela esquerda, isto é,
xto1^- . Para
x<1 , vale
f(x)=2x , então
Logo,
limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2 .
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (pela direita deu 1 e pela esquerda deu 2), concluímos que o limite procurado não existe.
Resposta
O limite não existe, pois
limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2 e
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1 , que são diferentes.