Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x 1 f(x)-f(1)x-1 onde llx+1 & se x >= 1 2 x & se x<1;

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular limx to 1 f(x)-f(1)x-1 para a função por partes
definida por
f(x)=x+1,&x>=1,2x,&x<1
O conteúdo envolve limites e a necessidade de avaliar os limites laterais por conta da quebra em x=1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1). Como 1>=1, usamos a regra f(x)=x+1. Assim,
f(1)=1+1=2

Passo 3

Agora calculamos o limite pela direita, isto é, xto1^+. Para x>1, vale f(x)=x+1, então
f(x)-f(1)x-1=(x+1)-2x-1=x-1x-1=1
Logo, limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1.

Passo 4

Em seguida, calculamos o limite pela esquerda, isto é, xto1^-. Para x<1, vale f(x)=2x, então
f(x)-f(1)x-1=2x-2x-1=2(x-1)x-1=2
Logo, limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (pela direita deu 1 e pela esquerda deu 2), concluímos que o limite procurado não existe.

Resposta

O limite não existe, pois limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2 e limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1, que são diferentes.

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