Ache a reta horizontal y=c que divida a área entre as curvas y=x^2 e y=16 em duas partes iguais. E a vertical?

Passo 1

A região em questão é delimitada pelas curvas y=x^{2} (abaixo) e y=16 (acima), que se interceptam em x=±4. Vamos precisar calcular a área total desse recinto usando integrais e depois achar linhas horizontais e verticais que dividam essa área ao meio.

Passo 2

Para achar a área total A do recinto, integramos a diferença entre a curva superior e a inferior em x, de –4 a 4:
A=integral-4^4(16 - x^2),dx=l[16x - x^33r]-4^4=l(64 - tfrac643r)-l(-64 + tfrac643r)=2563
Logo, a metade dessa área é A/2=128/3.

Passo 3

Para a reta horizontal y=c, consideramos a parte inferior do recinto entre y=x^{2} e y=c, para –√c≤x≤√c. A área dessa “fatia” é
Ah(c)=integral-raizc^raizc(c - x^2),dx=2craizc-2(tfracc^3/23)1=43c^3/2
Impondo A_{h}©=128/3, obtemos
43c^3/2=1283Longrightarrow c^3/2=32Longrightarrow c=32^2/3=8,2^1/3

Passo 4

Para a reta vertical x=k que divida a área em duas partes iguais, calculamos a área à esquerda de x=k:
Av(k)=integral-4^k(16 - x^2),dx=l[16x - tfracx^33r]-4^k=16k - k^33+1283
Igualando a 128/3 (metade da área total) temos 16k−k^{3}/3=0, cuja única solução em [–4,4] é k=0.

Passo 5

Como o recinto é simétrico em relação ao eixo y, a única reta vertical que divide a área em duas partes iguais é x=0.

Resposta

Horizontal: y=8,2^{1/3}. Vertical: x=0.

Exercícios relacionados