Derive e simplifique.
Passo 1
Temos a função
O conteúdo aqui é derivação de função dada por quociente de potências compostas. Para resolver de forma mais tranquila, vamos usar diferenciação logarítmica.
Passo 2
Aplicamos logaritmo natural nos dois lados. Isso transforma produtos e quocientes em somas e diferenças:
Esta etapa facilita a derivação, pois a derivada de
converte vezes em divisões.
Passo 3
Derivamos ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
é
(regra da cadeia) e que
:
Simplificando coeficientes:
Passo 4
Isolamos
:
Em seguida, substituímos .
Passo 5
Fazendo a substituição e cancelando fatores comuns de potências, obtemos:
Isso equivale a
Passo 6
Agora basta expandir e somar no colchete:
8x(2x+1)(3x-1) = 48x^3 + 8x^2 - 8x
8x(2x+1)(3x-1) = 48x^3 + 8x^2 - 8x
-6(x^2+1)(3x-1) = -18x^3 + 6x^2 -18x +6
-15(x^2+1)(2x+1) = -30x^3 -15x^2 -30x -15
Somando esses três termos, obtemos
.
Portanto,
Portanto,
Passo 7
final_answer
Passo 8
final_answer