Derive e simplifique.

Passo 1

Temos a função

O conteúdo aqui é derivação de função dada por quociente de potências compostas. Para resolver de forma mais tranquila, vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural nos dois lados. Isso transforma produtos e quocientes em somas e diferenças:
ln y = 4ln(x^2+1) - 3ln(2x+1) - 5ln(3x-1)
Esta etapa facilita a derivação, pois a derivada de ln converte vezes em divisões.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. Lembrando que a derivada de ln y é y'/y (regra da cadeia) e que ddxln(u)=u'/u:
y'y = 4cdot2xx^2+1 - 3cdot22x+1 - 5cdot33x-1
Simplificando coeficientes:
y'y = 8xx^2+1 - 62x+1 - 153x-1

Passo 4

Isolamos y':
y' = y l(8xx^2+1 - 62x+1 - 153x-1r)
Em seguida, substituímos .

Passo 5

Fazendo a substituição e cancelando fatores comuns de potências, obtemos:
y' = (x^2+1)^4(2x+1)^3(3x-1)^5 ;8xx^2+1 - 62x+1 - 153x-1
Isso equivale a
y' = (x^2+1)^3(2x+1)^4(3x-1)^6l[8x(2x+1)(3x-1)-6(x^2+1)(3x-1)-15(x^2+1)(2x+1)r]

Passo 6

Agora basta expandir e somar no colchete:
8x(2x+1)(3x-1) = 48x^3 + 8x^2 - 8x
-6(x^2+1)(3x-1) = -18x^3 + 6x^2 -18x +6
-15(x^2+1)(2x+1) = -30x^3 -15x^2 -30x -15
Somando esses três termos, obtemos -x^2 -56x -9.
Portanto,

Passo 7

final_answer

Passo 8

final_answer

Resposta

y' = -(x^2+1)^3,(x^2+56x+9)(2x+1)^4,(3x-1)^6

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