Ache a reta que intercepta as retas
r: (x-1)/3 = (y-1)/2 = -z/3 ; s: {x=-1+5λ, y=1+3λ, z=λ}
e forma ângulos congruentes com os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede a reta que corta as retas
r:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=-\frac{z}{3}
e
s:\begin{cases} x=-1+5\lambda,\\\ y=1+3\lambda,\\\ z=\lambda \end{cases}
e que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados. Isso significa que os cossenos diretores da reta são iguais, ou seja, a reta tem vetor diretor proporcional a (1,1,1). Para resolver, vamos (1) parametrizar pontos genéricos em r e em s, (2) exigir que o segmento que une esses pontos seja paralelo a (1,1,1) e (3) encontrar os parâmetros que satisfazem isso.

Passo 2

Parametrizamos um ponto A em r por
A(t)=\bigl(1+3t,\;1+2t,\;-3t\bigr)
e um ponto B em s por
B(\lambda)=\bigl(-1+5\lambda,\;1+3\lambda,\;\lambda\bigr).
Se AB é paralelo a (1,1,1), então existe escalar k tal que
B(\lambda)-A(t)=k\,(1,1,1).

Passo 3

Escrevemos componente a componente:
\begin{cases} -1+5\lambda \;-\;(1+3t)=k,\\\\ 1+3\lambda \;-\;(1+2t)=k,\\\ \lambda\;-\;(-3t)=k. \end{cases}
Isso gera o sistema
\begin{cases} 5\lambda-3t-2=k,\\\\ 3\lambda-2t=k,\\\ \lambda+3t=k. \end{cases}

Passo 4

Eliminamos k subtraindo a segunda equação da primeira:
(5\lambda-3t-2)-(3\lambda-2t)=0 \quad\Longrightarrow\quad2\lambda-t=2 \quad\Longrightarrow\quad t=2\lambda-2.
Da terceira equação,
k=\lambda+3t=\lambda+3(2\lambda-2)=7\lambda-6.
Igualando a k da segunda equação:
7\lambda-6=3\lambda-2(2\lambda-2) =3\lambda-4\lambda+4=-\lambda+4 \quad\Longrightarrow\quad8\lambda=10 \quad\Longrightarrow\quad\lambda=\tfrac{5}{4}.
Logo t=2\cdot\tfrac{5}{4}-2=\tfrac12.

Passo 5

Com \lambda=\tfrac54 e t=\tfrac12, obtemos os pontos de interseção:
A\bigl(\tfrac12\bigr) =\bigl(1+3\cdot\tfrac12,\;1+2\cdot\tfrac12,\;-3\cdot\tfrac12\bigr) =(2{,}5,\;2,\;-1{,}5),
B\bigl(\tfrac54\bigr) =\bigl(-1+5\cdot\tfrac54,\;1+3\cdot\tfrac54,\;\tfrac54\bigr) =(5{,}25,\;4{,}75,\;1{,}25).
E B-A=(2{,}75,2{,}75,2{,}75), paralelo a (1,1,1).

Passo 6

A reta procurada passa por A=(2{,}5,2,-1{,}5) e tem vetor diretor (1,1,1). Assim, sua equação paramétrica é
\ell:\quad \begin{cases} x=2{,}5+t,\\\ y=2+t,\\\ z=-1{,}5+t, \end{cases}
ou na forma simétrica
\frac{x-2{,}5}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1{,}5}{1}.

Resposta

\displaystyle x=2{,}5+t,\;y=2+t,\;z=-1{,}5+t, com vetor diretor (1,1,1).

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