Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 5 & -20 & 40 \\\\ -44 & 5 & 8 \\\\ -8 & -40 & -19 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{1}{2}
(B) \frac{3}{4}
(C) \frac{1}{2}
(D) -\frac{3}{5}
(E) -\frac{4}{5}
(F) \frac{4}{5}
(G) \frac{3}{5}
(H) -\frac{3}{4}
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix} 5 & -20 & 40\\\\ -44 & 5 & 8\\\\ -8 & -40 & -19 \end{pmatrix}
em \mathbb{R}^3 e pede o cosseno do ângulo de rotação \theta. Vamos usar a propriedade de que, para uma rotação em \mathbb{R}^3, os autovalores são 1, e^{i\theta} e e^{-i\theta}, de modo que
\mathrm{tr}(R)=1+2\cos(\theta).

Passo 2

Calcular a traça de R. Os elementos da diagonal são 5, 5 e -19, todos divididos por 45. Logo
\mathrm{tr}(R) =\frac{5+5-19}{45} =\frac{-9}{45} =-\frac{1}{5}.

Passo 3

Usar a relação \mathrm{tr}(R)=1+2\cos(\theta) para isolar \cos(\theta):
-\tfrac{1}{5}=1+2\cos(\theta) \quad\Longrightarrow\quad 2\cos(\theta)=-\tfrac{1}{5}-1=-\tfrac{6}{5} \quad\Longrightarrow\quad \cos(\theta)=-\tfrac{3}{5}.

Resposta

(D) -\tfrac{3}{5}

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