Ache o co-seno do ângulo entre as retas:
\left\{ \begin{array}{l}x=3+\lambda \\\ y=-2-\lambda \\\ z=\sqrt{2} \lambda\end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l}x=-2+\lambda \\\ y=3+\lambda \\\ z=-5+\sqrt{2} \lambda\end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço, dadas por
\begin{cases} x=3+\lambda,\\\ y=-2-\lambda,\\\ z=\sqrt{2}\,\lambda \end{cases} \quad\text{e}\quad \begin{cases} x=-2+\lambda,\\\ y=3+\lambda,\\\ z=-5+\sqrt{2}\,\lambda. \end{cases}
Para isso, vamos extrair os vetores diretores dessas retas e usar a fórmula
\cos\theta=\frac{\bigl|\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2\bigr|} {\|\mathbf v_1\|\;\|\mathbf v_2\|}.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores das retas lendo os coeficientes de \lambda:
\mathbf v_1=(1,\,-1,\,\sqrt{2}), \qquad \mathbf v_2=(1,\,1,\,\sqrt{2}).

Passo 3

Calculamos o produto escalar \mathbf v_1\cdot\mathbf v_2:
\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2 =1\cdot1+(-1)\cdot1+(\sqrt{2})(\sqrt{2}) =1-1+2 =2.

Passo 4

Calculamos as normas de \mathbf v_1 e \mathbf v_2:
\|\mathbf v_1\| =\sqrt{1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2} =\sqrt{1+1+2} =\sqrt{4} =2,
\|\mathbf v_2\| =\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2} =\sqrt{1+1+2} =2.

Passo 5

Substituímos na fórmula do cosseno:
\cos\theta =\frac{|\mathbf v_1\cdot\mathbf v_2|}{\|\mathbf v_1\|\;\|\mathbf v_2\|} =\frac{2}{2\cdot2} =\frac{2}{4} =\tfrac12.

Resposta

O cosseno do ângulo entre as retas é \tfrac12.

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