Ache a reta que intercepta as retas
r: (x-1)/3 = (y-1)/2 = -z/3 ; s: {x=-1+5λ, y=1+3λ, z=λ}
é forma ângulos congruentes com os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede a reta que intersecta as retas
r com equação \frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=-\frac{z}{3}
e s com equação x=-1+5\lambda,\;y=1+3\lambda,\;z=\lambda,
e que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados. Isso significa que o vetor direção dessa reta tem componentes de igual módulo, logo podemos escolher
\mathbf{v}=(1,1,1).
Vamos buscar dois pontos P\in r e Q\in s tais que \overrightarrow{PQ} seja paralelo a (1,1,1).

Passo 2

Parametrizamos
P=r(\mu)=\bigl(1+3\mu,\;1+2\mu,\;-3\mu\bigr),
Q=s(\lambda)=\bigl(-1+5\lambda,\;1+3\lambda,\;\lambda\bigr).
A condição \overrightarrow{PQ}\parallel(1,1,1) equivale a exigir que os três componentes de
\overrightarrow{PQ} =Q-P =\bigl(-1+5\lambda-(1+3\mu),\;1+3\lambda-(1+2\mu),\;\lambda+3\mu\bigr)
sejam iguais entre si. Assim obtemos dois sistemas de igualdade:
-2+5\lambda-3\mu \;=\;3\lambda-2\mu,
3\lambda-2\mu \;=\;\lambda+3\mu.

Passo 3

Da segunda igualdade
3\lambda-2\mu=\lambda+3\mu \quad\Longrightarrow\quad 2\lambda=5\mu \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\tfrac{5}{2}\mu.
Substituindo na primeira,
-2+5\Bigl(\tfrac{5}{2}\mu\Bigr)-3\mu =\;3\Bigl(\tfrac{5}{2}\mu\Bigr)-2\mu \;\Longrightarrow\; -2+\tfrac{25}{2}\mu-3\mu =\tfrac{15}{2}\mu-2\mu \;\Longrightarrow\; \mu=\tfrac12,
logo \lambda=\tfrac{5}{4}.

Passo 4

Calculamos os pontos:
P=r\!\bigl(\tfrac12\bigr) =\Bigl(1+\tfrac32,\;1+1,\;-\,\tfrac32\Bigr) =\Bigl(\tfrac52,2,-\tfrac32\Bigr),
Q=s\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr) =\Bigl(-1+\tfrac{25}{4},\;1+\tfrac{15}{4},\;\tfrac{5}{4}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{21}{4},\tfrac{19}{4},\tfrac{5}{4}\Bigr).
De fato
\overrightarrow{PQ} =\Bigl(\tfrac{21}{4}-\tfrac{10}{4},\;\tfrac{19}{4}-\tfrac{8}{4},\;\tfrac{5}{4}+\tfrac{6}{4}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{11}{4},\tfrac{11}{4},\tfrac{11}{4}\Bigr) =\tfrac{11}{4}(1,1,1),
confirmando a direção (1,1,1). A reta buscada passa por P e tem direção (1,1,1).

Resposta

\frac{x-\tfrac52}{1} \;=\;\frac{y-2}{1}\;=\;\frac{z+\tfrac32}{1}.

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