Ache a reta que intersecta as retas
r: \frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{-z}{3} \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=-1+5 \lambda \\\ y=1+3 \lambda \\\ z=\lambda \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: "Ache a reta que intersecta as retas r\) e \(s\)". As retas dadas são: \[r:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{-z}{3}, \qquad s:\begin{cases} x=-1+5\lambda\\[4pt] y=1+3\lambda\\[4pt] z=\lambda \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta r\] está em forma simétrica; dela podemos extrair um ponto e um vetor diretor. - A reta \(s está em forma paramétrica; dela também podemos extrair um ponto e um vetor diretor.
    - A pergunta é ambígua se interpretada literalmente (existem infinitas retas que podem intersectar ambas se elas não forem “posicionadas”), então é preciso escolher um método bem definido. Vou explicar e justificar a escolha no próximo passo.]

Passo 2

Converter a forma simétrica de r para forma paramétrica. Seja o parâmetro de r igual a t, isto é,
\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{-z}{3}=t.
Dessa igualdade obtemos as coordenadas de um ponto genérico P em r:
x=1+3t,\qquad y=1+2t,\qquad z=-3t.
Então um ponto conhecido de r (quando t=0) é P_0=(1,1,0) e o vetor diretor de r é
\mathbf{u}=(3,2,-3).
Da reta s já identificamos um ponto quando \lambda=0: Q_0=(-1,1,0) e o vetor diretor de s é
\mathbf{v}=(5,3,1).

Passo 3

Primeiro verificamos se as retas se intersectam (se existe um ponto comum). Para isso igualamos as parametrizações: devemos achar t e \lambda tal que
1+3t=-1+5\lambda,\qquad 1+2t=1+3\lambda,\qquad -3t=\lambda.
Da segunda equação obtemos
2t=3\lambda\quad\Rightarrow\quad 2t-3\lambda=0.
Da terceira obtemos
\lambda=-3t.
Substituindo \lambda=-3t em 2t-3\lambda=0 vem
2t-3(-3t)=2t+9t=11t=0\quad\Rightarrow\quad t=0,
então \lambda=-3\cdot0=0. Substituindo t=0,\lambda=0 na primeira equação obtemos
1+3\cdot0=-1+5\cdot0\quad\Rightarrow\quad 1=-1,
que é absurdo. Conclusão: as retas r e s não se intersectam — elas são retas reversas (skew).

Passo 4

Quando duas retas em \mathbb{R}^3 são skew, existe uma única reta perpendicular a ambas que as intersecta — chama-se a perpendicular comum (ou reta de menor distância entre as duas). A interpretação natural e típica do enunciado "ache a reta que intersecta as retas r e s" em exercícios assim é justamente essa reta perpendicular comum. Vou então achar a reta que corta r em um ponto P e s em um ponto Q tal que o vetor \overrightarrow{PQ} seja perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v}. Isso leva ao sistema:
(\overrightarrow{PQ})\cdot\mathbf{u}=0,\qquad (\overrightarrow{PQ})\cdot\mathbf{v}=0,
com incógnitas os parâmetros t (posição em r) e \lambda (posição em s).

Passo 5

Escrevendo explicitamente P(t)\in r e Q(\lambda)\in s:
P(t)=(1+3t,\;1+2t,\;-3t), \qquad Q(\lambda)=(-1+5\lambda,\;1+3\lambda,\;\lambda).
O vetor \overrightarrow{PQ}=Q(\lambda)-P(t) é
\overrightarrow{PQ}=(-2+5\lambda-3t,\;3\lambda-2t,\;\lambda+3t).

Passo 6

Escrever as condições de perpendicularidade usando produtos escalares.
Primeira condição: (\overrightarrow{PQ})\cdot\mathbf{u}=0, com \mathbf{u}=(3,2,-3). Então
3(-2+5\lambda-3t)+2(3\lambda-2t)-3(\lambda+3t)=0.
Fazendo as contas passo a passo:
-6+15\lambda-9t+6\lambda-4t-3\lambda-9t=0.
Agrupando termos:
-6+(15\lambda+6\lambda-3\lambda)+(-9t-4t-9t)=0
-6+18\lambda-22t=0.
Dividindo por 2:
9\lambda-11t=3.
Segunda condição: (\overrightarrow{PQ})\cdot\mathbf{v}=0, com \mathbf{v}=(5,3,1). Então
5(-2+5\lambda-3t)+3(3\lambda-2t)+1(\lambda+3t)=0.
Expansão e soma:
-10+25\lambda-15t+9\lambda-6t+\lambda+3t=0
-10+(25\lambda+9\lambda+\lambda)+(-15t-6t+3t)=0
-10+35\lambda-18t=0,
que dá
35\lambda-18t=10.
Portanto obtemos o sistema linear em \lambda e t:
\begin{cases} 9\lambda-11t=3,\\[4pt] 35\lambda-18t=10. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema linear. Usando eliminação: multiplicar a primeira equação por 18\) e a segunda por \(11\) para eliminar \(t\): \[\begin{cases} 162\lambda-198t=54,\\[4pt] 385\lambda-198t=110. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(385-162)\lambda=110-54\quad\Rightarrow\quad 223\lambda=56.
Logo
\lambda=\frac{56}{223}.
Substituindo em (9\lambda-11t=3]:
9\cdot\frac{56}{223}-11t=3
\frac{504}{223}-11t=3
-11t=3-\frac{504}{223}=\frac{669-504}{223}=\frac{165}{223}
t=-\frac{165}{223\cdot 11}=-\frac{165}{2453}=-\frac{15}{223},
pois 2453=11\cdot223 e 165=11\cdot15. Portanto
t=-\frac{15}{223}.]

Passo 8

Calcular agora os pontos P e Q correspondentes.
Para t=-\dfrac{15}{223},
P=P\!\left(-\frac{15}{223}\right)=\left(1+3t,\;1+2t,\;-3t\right) =\left(\frac{178}{223},\;\frac{193}{223},\;\frac{45}{223}\right).
Para \lambda=\dfrac{56}{223},
Q=Q\!\left(\frac{56}{223}\right)=\left(-1+5\lambda,\;1+3\lambda,\;\lambda\right) =\left(\frac{57}{223},\;\frac{391}{223},\;\frac{56}{223}\right).

Passo 9

O vetor direção da perpendicular comum é \overrightarrow{PQ}=Q-P. Calculando:
\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{57-178}{223},\;\frac{391-193}{223},\;\frac{56-45}{223}\right) =\frac{1}{223}(-121,198,11).
Podemos simplificar dividindo por 11:
\overrightarrow{PQ}\\ \text{direção} =(-11,18,1).çã
Verificação rápida: (-11,18,1)\cdot(3,2,-3)=0 e (-11,18,1)\cdot(5,3,1)=0, logo está perpendicular a ambos os vetores diretores, como queríamos.

Passo 10

Escrever a equação da reta procurada (a perpendicular comum). Tomando o ponto P=\left(\dfrac{178}{223},\dfrac{193}{223},\dfrac{45}{223}\right) e o vetor direção \mathbf{w}=(-11,18,1), uma forma paramétrica da reta L é, com parâmetro \mu:
L:\begin{cases} x=\dfrac{178}{223}-11\mu,\\[6pt] y=\dfrac{193}{223}+18\mu,\\[6pt] z=\dfrac{45}{223}+\mu. \end{cases}
Uma forma simétrica equivalente é
\frac{x-\dfrac{178}{223}}{-11}=\frac{y-\dfrac{193}{223}}{18}=\frac{z-\dfrac{45}{223}}{1}.]

Resposta

L:\begin{cases} x=\dfrac{178}{223}-11\mu,\\[6pt] y=\dfrac{193}{223}+18\mu,\\[6pt] z=\dfrac{45}{223}+\mu. \end{cases}
ou equivalentemente
\frac{x-\dfrac{178}{223}}{-11}=\frac{y-\dfrac{193}{223}}{18}=\frac{z-\dfrac{45}{223}}{1}.]

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