O enunciado pede: "Ache a reta que intersecta as retas r\) e \(s\)". As retas dadas são:
\[r:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{-z}{3}, \qquad s:\begin{cases} x=-1+5\lambda\\[4pt] y=1+3\lambda\\[4pt] z=\lambda \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A reta r\] está em forma simétrica; dela podemos extrair um ponto e um vetor diretor.
- A reta \(s está em forma paramétrica; dela também podemos extrair um ponto e um vetor diretor.
- A pergunta é ambígua se interpretada literalmente (existem infinitas retas que podem intersectar ambas se elas não forem “posicionadas”), então é preciso escolher um método bem definido. Vou explicar e justificar a escolha no próximo passo.]
Passo 2
Converter a forma simétrica de r para forma paramétrica. Seja o parâmetro de r igual a t, isto é,
\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{-z}{3}=t.
Dessa igualdade obtemos as coordenadas de um ponto genérico P em r:
x=1+3t,\qquad y=1+2t,\qquad z=-3t.
Então um ponto conhecido de r (quando t=0) é P_0=(1,1,0) e o vetor diretor de r é
\mathbf{u}=(3,2,-3).
Da reta s já identificamos um ponto quando \lambda=0: Q_0=(-1,1,0) e o vetor diretor de s é
\mathbf{v}=(5,3,1).
Passo 3
Primeiro verificamos se as retas se intersectam (se existe um ponto comum). Para isso igualamos as parametrizações: devemos achar t e \lambda tal que
então \lambda=-3\cdot0=0. Substituindo t=0,\lambda=0 na primeira equação obtemos
1+3\cdot0=-1+5\cdot0\quad\Rightarrow\quad 1=-1,
que é absurdo. Conclusão: as retas r e s não se intersectam — elas são retas reversas (skew).
Passo 4
Quando duas retas em \mathbb{R}^3 são skew, existe uma única reta perpendicular a ambas que as intersecta — chama-se a perpendicular comum (ou reta de menor distância entre as duas). A interpretação natural e típica do enunciado "ache a reta que intersecta as retas r e s" em exercícios assim é justamente essa reta perpendicular comum. Vou então achar a reta que corta r em um ponto P e s em um ponto Q tal que o vetor \overrightarrow{PQ} seja perpendicular tanto a \mathbf{u} quanto a \mathbf{v}. Isso leva ao sistema:
Resolver o sistema linear. Usando eliminação: multiplicar a primeira equação por 18\) e a segunda por \(11\) para eliminar \(t\):
\[\begin{cases} 162\lambda-198t=54,\\[4pt] 385\lambda-198t=110. \end{cases}
Verificação rápida: (-11,18,1)\cdot(3,2,-3)=0 e (-11,18,1)\cdot(5,3,1)=0, logo está perpendicular a ambos os vetores diretores, como queríamos.
Passo 10
Escrever a equação da reta procurada (a perpendicular comum). Tomando o ponto P=\left(\dfrac{178}{223},\dfrac{193}{223},\dfrac{45}{223}\right) e o vetor direção \mathbf{w}=(-11,18,1), uma forma paramétrica da reta L é, com parâmetro \mu: