Traduza para coordenadas cartesianas:
(a) \rho=2, \quad \theta=\frac{\pi}{4}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: \rho=2 e \theta=\dfrac{\pi}{4}.
  • Pedido: traduzir esse ponto em coordenadas polares para coordenadas cartesianas, ou seja, encontrar x e y tais que o ponto em cartesiano seja (x,y).

Passo 2

Fórmulas de conversão (o que significam as letras):
  • \rho é a distância do ponto até a origem (o “raio” em coordenadas polares).
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
    As fórmulas que relacionam polares (\rho,\theta) com cartesianas (x,y) são:
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
Explicando: \cos\theta e \sin\theta são as razões trigonométricas do ângulo \theta no triângulo retângulo formado por projetar o ponto na horizontal e vertical; multiplicando por \rho obtemos as coordenadas x e y.

Passo 3

Calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\dfrac{\pi}{4}.
  • O ângulo \dfrac{\pi}{4} corresponde a 45^\circ. Num triângulo isósceles retângulo 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ os catetos são iguais e a hipotenusa vale \sqrt{2} vezes um cateto. Assim
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Substituir nas fórmulas e simplificar passo a passo:
  • Para x:
x=\rho\cos\theta=2\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
  • Para y:
y=\rho\sin\theta=2\cdot\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.

Passo 5

Checagem rápida (útil na prova para garantir que não houve erro):
  • \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2=\rho. OK.
  • \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}=\theta. OK.

Resposta

(x,y)=(\sqrt{2},\sqrt{2})

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