Use coordenadas polares para descrever as regiões abaixo:
(a) Anel centrado na origem de raio interno 2 e raio externo 4.
(a) Anel centrado na origem de raio interno 2 e raio externo 4.
Passo 1
O enunciado pede para descrever, em coordenadas polares, o anel (região entre duas circunferências) centrado na origem com raio interno
e raio externo
. Informações dadas:
- raio interno:
; - raio externo:
; - centro: origem
.
Passo 2
Lembrete rápido sobre coordenadas polares (o que é preciso saber).
- Em coordenadas polares um ponto do plano é dado por
, onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo que o raio vetor faz com o eixo . - A relação entre coordenadas cartesianas
e polares é
com
e
medido em radianos (por convenção geralmente
ou
).
Passo 3
Transformar as circunferências em coordenadas polares.
- A circunferência de raio
centrada na origem tem equação cartesiana . Usando , isso vira
- Analogamente, a circunferência de raio
vira
Ou seja, em polares as duas curvas limites são
e
.
Passo 4
Descrever a região (anel) em desigualdades polares.
- O anel são todos os pontos cuja distância à origem está entre
e . Em polares isso é simplesmente
- Como o anel é completo ao redor da origem, o ângulo
percorre o círculo inteiro; tipicamente escolhe-se
(ou
, dependendo da convenção de fechar o intervalo).
Passo 5
Forma prática para integrais e verificação com área.
- Para integrar sobre essa região em coordenadas polares usa-se o elemento de área
. Assim a integral dupla sobre o anel fica, por exemplo,
- Fazer a integral confirmatória da área:
Isso coincide com a fórmula geométrica da área do anel
, bom sinal de que a descrição está certa.
Passo 6
Resumo e dica prática para a prova (conversa de amigo).
- Na hora da prova, ao ver "anel centrado na origem com raios
e " já decore o padrão: e vai de a . Se pedirem integrais, não esqueça do fator no elemento de área. Força aí, você consegue!