Use coordenadas polares para descrever as regiões abaixo:
(a) Anel centrado na origem de raio interno 2 e raio externo 4.

Passo 1

O enunciado pede para descrever, em coordenadas polares, o anel (região entre duas circunferências) centrado na origem com raio interno 2 e raio externo 4. Informações dadas:
  • raio interno: 2;
  • raio externo: 4;
  • centro: origem (0,0).

Passo 2

Lembrete rápido sobre coordenadas polares (o que é preciso saber).
  • Em coordenadas polares um ponto do plano é dado por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo que o raio vetor faz com o eixo x.
  • A relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta medido em radianos (por convenção geralmente 0\le \theta<2\pi ou 0\le\theta\le 2\pi).

Passo 3

Transformar as circunferências em coordenadas polares.
  • A circunferência de raio 2 centrada na origem tem equação cartesiana x^{2}+y^{2}=2^{2}. Usando x^{2}+y^{2}=r^{2}, isso vira
r^{2}=4\quad\Rightarrow\quad r=2.
  • Analogamente, a circunferência de raio 4 vira
r^{2}=16\quad\Rightarrow\quad r=4.
Ou seja, em polares as duas curvas limites são r=2 e r=4.

Passo 4

Descrever a região (anel) em desigualdades polares.
  • O anel são todos os pontos cuja distância à origem está entre 2 e 4. Em polares isso é simplesmente
2 \le r \le 4.
  • Como o anel é completo ao redor da origem, o ângulo \theta percorre o círculo inteiro; tipicamente escolhe-se
0 \le \theta < 2\pi
(ou 0\le\theta\le2\pi, dependendo da convenção de fechar o intervalo).

Passo 5

Forma prática para integrais e verificação com área.
  • Para integrar sobre essa região em coordenadas polares usa-se o elemento de área dA = r\,dr\,d\theta. Assim a integral dupla sobre o anel fica, por exemplo,
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{4} r\,dr\,d\theta.
  • Fazer a integral confirmatória da área:
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{4} r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{2}^{4} d\theta = \int_{0}^{2\pi} 6\,d\theta = 12\pi.
Isso coincide com a fórmula geométrica da área do anel \pi(4^{2}-2^{2})=12\pi, bom sinal de que a descrição está certa.

Passo 6

Resumo e dica prática para a prova (conversa de amigo).
  • Na hora da prova, ao ver "anel centrado na origem com raios a e b" já decore o padrão: a\le r\le b e \theta vai de 0 a 2\pi. Se pedirem integrais, não esqueça do fator r no elemento de área. Força aí, você consegue!

Resposta

\{(r,\theta)\mid 2 \le r \le 4,\\\ 0 \le \theta < 2\pi\}

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