Ache o(s) ponto(s) onde a tangente da curva
é paralela à reta
.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache o(s) ponto(s) onde a tangente da curva
é paralela à reta
.”
Dados fornecidos e informações relevantes do enunciado:
Dados fornecidos e informações relevantes do enunciado:
- A função dada é
. - A reta dada é
. Dela, extraímos a inclinação (coeficiente angular) que vale . - O que se busca são os pontos da curva (valores de
e ) onde a tangente tem a mesma inclinação que essa reta.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): o que significa “inclinação da tangente” e como calculamos isso.
- A inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente à curva no ponto de abscissa
é dada pela derivada de em , denotada por . - Definição da derivada em um ponto
:
onde
é um incremento pequeno em
. Isso mede a taxa de variação instantânea de
em
.
Expliquei cada parte: em , o numerador é a variação da função quando
passa de
para
e o denominador é a variação em
. O limite quando
dá a inclinação da reta que toca a curva em
.
Expliquei cada parte: em
Passo 3
Como vamos aplicar isso na prática, uma regra muito útil (e que se obtém a partir da definição acima) é a regra da potência: para
com
inteiro positivo,
Para convencer você, mostro rapidamente para
(caso concreto, sem pular etapas): seja
. Usando a definição,
Expandindo
obtemos
. Substituindo,
Portanto, a derivada de
é
. Para
, a derivada é
porque a derivada de
é
e as constantes multiplicam.
Passo 4
Agora aplicamos isso à função
. Usando as regras acima (derivada soma/diferença e regra da potência),
Esse
nos dá a inclinação da tangente em qualquer abscissa
.
Passo 5
Condição de paralelismo: duas retas são paralelas quando têm a mesma inclinação. A reta dada tem inclinação
. Logo devemos resolver
Substituindo
,
Resolvendo passo a passo:
Passo 6
Agora encontramos as ordenadas correspondentes calculando
nesses
.
Para :
Para
Para
:
Portanto ambos os pontos têm ordenada
.
Passo 7
Conclusão: os pontos da curva onde a tangente é paralela à reta
são
e
. Bom trabalho — mesmo com pouco tempo você acompanhou todo o raciocínio do início ao fim!