Ache o(s) ponto(s) onde a tangente da curva f(x)=x^{\wedge} 3-x é paralela à reta y=2 x+3.

Passo 1

O enunciado pede: “Ache o(s) ponto(s) onde a tangente da curva f(x)=x^{3}-x é paralela à reta y=2x+3.”
Dados fornecidos e informações relevantes do enunciado:
  • A função dada é f(x)=x^{3}-x.
  • A reta dada é y=2x+3. Dela, extraímos a inclinação (coeficiente angular) que vale 2.
  • O que se busca são os pontos da curva (valores de x e y=f(x)) onde a tangente tem a mesma inclinação que essa reta.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o que significa “inclinação da tangente” e como calculamos isso.
  • A inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente à curva no ponto de abscissa a é dada pela derivada de f em a, denotada por f'(a).
  • Definição da derivada em um ponto a:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde h é um incremento pequeno em x. Isso mede a taxa de variação instantânea de f em a.
Expliquei cada parte: em \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, o numerador é a variação da função quando x passa de a para a+h e o denominador é a variação em x. O limite quando h\to0 dá a inclinação da reta que toca a curva em x=a.

Passo 3

Como vamos aplicar isso na prática, uma regra muito útil (e que se obtém a partir da definição acima) é a regra da potência: para g(x)=x^{n} com n inteiro positivo,
g'(x)=n x^{n-1}.
Para convencer você, mostro rapidamente para n=3 (caso concreto, sem pular etapas): seja g(x)=x^{3}. Usando a definição,
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3} obtemos x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}. Substituindo,
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}}{h}=\lim_{h\to0}\bigl(3x^{2}+3x h+h^{2}\bigr)=3x^{2}.
Portanto, a derivada de x^{3} é 3x^{2}. Para h(x)=-x, a derivada é -1 porque a derivada de x é 1 e as constantes multiplicam.

Passo 4

Agora aplicamos isso à função f(x)=x^{3}-x. Usando as regras acima (derivada soma/diferença e regra da potência),
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=3x^{2}-1.
Esse f'(x) nos dá a inclinação da tangente em qualquer abscissa x.

Passo 5

Condição de paralelismo: duas retas são paralelas quando têm a mesma inclinação. A reta dada tem inclinação 2. Logo devemos resolver
f'(x)=2.
Substituindo f'(x)=3x^{2}-1,
3x^{2}-1=2.
Resolvendo passo a passo:
3x^{2}-1=2 \implies 3x^{2}=3 \implies x^{2}=1 \implies x=\pm 1.

Passo 6

Agora encontramos as ordenadas correspondentes calculando f(x) nesses x.
Para x=1:
f(1)=1^{3}-1=1-1=0.
Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{3}-(-1)=-1+1=0.
Portanto ambos os pontos têm ordenada 0.

Passo 7

Conclusão: os pontos da curva onde a tangente é paralela à reta y=2x+3 são (1,0) e (-1,0). Bom trabalho — mesmo com pouco tempo você acompanhou todo o raciocínio do início ao fim!

Resposta

(1,0)
(-1,0)

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