Determine a e b para que f seja diferenciável em
.
Dado
Dado
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
seja diferenciável em
e uma quadrática para
). Pergunta clara: determine os valores de
e
que garantem diferenciabilidade em
.]
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): uma função é diferenciável em um ponto se o limite do quociente incremental existe naquele ponto. Uma condição prática e equivalente que usamos com funções piecewise é:
- a função deve ser contínua em
(os limites lateral esquerdo e direito em devem ser iguais e iguais ao valor da função em ), e - as derivadas laterais em
devem existir e ser iguais (a derivada pela esquerda = derivada pela direita).
Vou usar essas duas condições. Aqui, quando digo “limite lateral esquerdo” é
e “direito” é
. A “derivada lateral esquerda” significa o limite
e a direita é com
. Para funções simples como polinômios e linhas, podemos calcular as derivadas usando a definição (vou mostrar).
Passo 3
Condição de continuidade em
.
Calculo do limite pela esquerda usando o ramo
:
Calculo do limite pela direita usando o ramo
:
Para ser contínua em
precisamos que esses limites coincidam e igualem o valor
. Como
é dado pelo ramo
, temos
. Portanto a condição de continuidade reduz-se a
Isolando
em função de
:
Passo 4
Derivada pela esquerda em
(ramo linear).
Para
temos
. A derivada de uma função linear
é a própria constante
(porque a inclinação da reta
é
). Posso mostrar com a definição:
Logo a derivada lateral esquerda em
vale
.
Passo 5
Derivada pela direita em
(ramo quadrático).
Para
temos
. A derivada de
é
, então em
a derivada pela direita vale
. Para ficar mais claro, faço com a definição de limite:
Portanto a derivada lateral direita em
é
.
Passo 6
Igualando as derivadas laterais (condição de diferenciabilidade).
Para
ser diferenciável em
precisamos que
Substituindo os valores obtidos:
Assim encontramos
.
Passo 7
Determinar
usando a continuidade (relembrando
).
Como
, então
Passo 8
Checagem rápida (para ter confiança): com
e
,
- valor pela esquerda em
: , - valor pela direita em
: . Então a função é contínua. - derivada pela esquerda:
; derivada pela direita: . Coincidem, logo diferenciável.