Determine a e b para que f seja diferenciável em x=1.
Dado f(x)=\left\{a x+2, x \leq 1 ; x^{\wedge} 2+b, x>1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a\) e \(b\) tais que a função \[f(x)=\begin{cases} a x + 2, & x \le 1,\\[4pt] x^{2} + b, & x > 1 \end{cases}
seja diferenciável em x=1\]. Informações dadas: a definição das duas ramificações da função (uma linear para \(x\le1 e uma quadrática para x>1). Pergunta clara: determine os valores de a e b que garantem diferenciabilidade em x=1.]

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): uma função é diferenciável em um ponto se o limite do quociente incremental existe naquele ponto. Uma condição prática e equivalente que usamos com funções piecewise é:
  1. a função deve ser contínua em x=1 (os limites lateral esquerdo e direito em 1 devem ser iguais e iguais ao valor da função em 1), e
  2. as derivadas laterais em 1 devem existir e ser iguais (a derivada pela esquerda = derivada pela direita).
Vou usar essas duas condições. Aqui, quando digo “limite lateral esquerdo” é \lim_{x\to1^-} f(x) e “direito” é \lim_{x\to1^+} f(x). A “derivada lateral esquerda” significa o limite
\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h},
e a direita é com h\to0^+. Para funções simples como polinômios e linhas, podemos calcular as derivadas usando a definição (vou mostrar).

Passo 3

Condição de continuidade em x=1.
Calculo do limite pela esquerda usando o ramo a x + 2:
\lim_{x\to1^-} f(x) = a\cdot 1 + 2 = a+2.
Calculo do limite pela direita usando o ramo x^{2}+b:
\lim_{x\to1^+} f(x) = 1^{2} + b = 1 + b.
Para ser contínua em x=1 precisamos que esses limites coincidam e igualem o valor f(1). Como f(1) é dado pelo ramo x\le1, temos f(1)=a+2. Portanto a condição de continuidade reduz-se a
a+2 = 1 + b.
Isolando b em função de a:
b = a + 1.

Passo 4

Derivada pela esquerda em x=1 (ramo linear).
Para x\le1 temos f(x)=a x + 2. A derivada de uma função linear a x + 2 é a própria constante a (porque a inclinação da reta y=ax+2 é a). Posso mostrar com a definição:
f'_{-}(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{a(1+h)+2-(a\cdot1+2)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{a h}{h}=\lim_{h\to0^-} a = a.
Logo a derivada lateral esquerda em 1 vale a.

Passo 5

Derivada pela direita em x=1 (ramo quadrático).
Para x>1 temos f(x)=x^{2}+b. A derivada de x^{2} é 2x, então em x=1 a derivada pela direita vale 2\cdot 1 = 2. Para ficar mais claro, faço com a definição de limite:
f'_{+}(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{(1+h)^{2}+b-(1^{2}+b)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{1+2h+h^{2}-1}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{2h+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0^+}(2+h)=2.
Portanto a derivada lateral direita em 1 é 2.

Passo 6

Igualando as derivadas laterais (condição de diferenciabilidade).
Para f ser diferenciável em x=1 precisamos que
f'_{-}(1)=f'_{+}(1).
Substituindo os valores obtidos:
a = 2.
Assim encontramos a.

Passo 7

Determinar b usando a continuidade (relembrando b=a+1).
Como a=2, então
b = a + 1 = 2 + 1 = 3.

Passo 8

Checagem rápida (para ter confiança): com a=2 e b=3,
  • valor pela esquerda em 1: a+2 = 2+2 = 4,
  • valor pela direita em 1: 1+b = 1+3 = 4. Então a função é contínua.
  • derivada pela esquerda: a=2; derivada pela direita: 2. Coincidem, logo diferenciável.

Resposta

a=2
b=3

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