Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
Se
, onde
, determine o valor de
quando
.
Se
Passo 1
Neste exercício, temos a função composta
com as variáveis
dependentes de
via
O objetivo é calcular
em
por dois métodos: substituição direta e regra da cadeia.
Passo 2
Método 1: substituição direta
Substituímos em
para obter
em termos de
:
Substituímos
Logo
Passo 3
Ainda no Método 1, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Avaliando em
:
Portanto
Passo 5
Método 2: regra da cadeia
Temos
Temos
Calculamos primeiro as derivadas parciais de
u :
Passo 6
Em seguida, as derivadas de
(x,y,z) em relação a
s :
Passo 7
Avaliando tudo em
(r,s,t)=(2,1,0) , temos:
Passo 8
Substituindo na regra da cadeia:
confirmando o resultado anterior.
Resposta
192