Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
Se u=x^4 y+y^2 z^3, onde x=r s e^t, y=r s^2 e^-t, z=r^2 s sin t, determine o valor de de quando r
=2, s=1, t=0.

Passo 1

Neste exercício, temos a função composta u(x,y,z)=x^4y+y^2z^3 com as variáveis x,y,z dependentes de (r,s,t) via
x = r s e^t,
y = r s^2 e^-t,
z = r^2 s ,sin t
O objetivo é calcular partial u/partial s em (r,s,t)=(2,1,0) por dois métodos: substituição direta e regra da cadeia.

Passo 2

Método 1: substituição direta
Substituímos x,y,z em u para obter u em termos de (r,s,t):
x^4y = (r s e^t)^4 (r s^2 e^-t) = r^5 s^6 e^3t,
y^2z^3 = (r s^2 e^-t)^2 ,(r^2 s sin t)^3 = r^8 s^7 e^-2t sin^3 t
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u(r,s,t) = r^5 s^6 e^3t + r^8 s^7 e^-2t sin^3 t

Passo 3

Ainda no Método 1, derivamos u(r,s,t) em relação a s:
partial upartial s = 6 r^5 s^5 e^3t + 7 r^8 s^6 e^-2t sin^3 t

Passo 4

Avaliando em (r,s,t)=(2,1,0):
e^3cdot0=1, sin^3(0)=0
Portanto
partial upartial s|(2,1,0) = 6cdot2^5cdot1^5cdot1 + 7cdot2^8cdot1^6cdot0 = 6cdot32 = 192

Passo 5

Método 2: regra da cadeia
Temos
partial upartial s = uxpartial xpartial s + uypartial ypartial s + uzpartial zpartial s
Calculamos primeiro as derivadas parciais de u:
ux = 4x^3y,
uy = x^4 + 2y z^3,
uz = 3y^2 z^2

Passo 6

Em seguida, as derivadas de (x,y,z) em relação a s:
partial xpartial s = r e^t,
partial ypartial s = 2r s e^-t,
partial zpartial s = r^2 sin t

Passo 7

Avaliando tudo em (r,s,t)=(2,1,0), temos:
x=2, y=2, z=0,
ux=4cdot2^3cdot2=64,
uy=2^4+2cdot2cdot0^3=16,
uz=3cdot2^2cdot0^2=0,
partial xpartial s=2, partial ypartial s=4, partial zpartial s=0

Passo 8

Substituindo na regra da cadeia:
partial upartial s = 64cdot2 + 16cdot4 + 0cdot0 = 128 + 64 = 192,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

192

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