Calcule f^(20)(0) nos seguintes casos:
f(x)=ln (x+1)

Passo 1

No enunciado queremos calcular f^(20)(0) para f(x)=ln(1+x), então vamos usar a série de Taylor em torno de zero e a relação entre coeficientes de série e derivadas.

Passo 2

Para |x|<1, a expansão de Taylor de ln(1+x) em torno de zero é
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1n,x^n
Na série de Taylor geral, o coeficiente de x^n é f^(n)(0)/n!. Comparando com a expressão acima, temos
f^(n)(0)n!=(-1)^n-1n
Isolando f^(n)(0) obtemos
$$
f{(n)}(0)=n!\frac{(-1){n-1}}{n}=(n-1)!,(-1)^{n-1} f^(n)(0)=n!(-1)^n-1n=(n-1)!,(-1)^n-1
f{(20)}(0)=19!,(-1){19}=-19!
$$

Resposta

-19!

Exercícios relacionados