Encontre o máximo local da função
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Passo 1
Beleza, vamos encontrar o máximo local da função $ f(x, y) = \frac{xy}{3 - x - y} $. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a função pode atingir esses máximos.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos ou mínimos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Passo 6
Agora, vamos analisar as combinações possíveis de $ x $ e $ y $:
- $ x = 0 $ e $ y = 0 $: $ f(0,0) = 0 $
- $ x = 0 $ e $ y = 3 $: $ f(0,3) = 0 $
- $ x = 3 $ e $ y = 0 $: $ f(3,0) = 0 $
- $ x = 3 $ e $ y = 3 $: Aqui o denominador fica $ 3 - 3 - 3 = -3 $, então $ f(3,3) = \frac{9}{-3} = -3 $
Nenhum desses pontos parece ser um máximo local, já que os valores não são maiores que outros valores possíveis.
Passo 7
Isso indica que a função pode não ter um máximo local dentro do domínio considerado, ou que o máximo ocorre nas fronteiras da região definida.
Passo 8
Observando a função $ f(x, y) = \frac{xy}{3 - x - y} $, percebemos que se $ x + y $ se aproxima de 3, o denominador tende a zero, fazendo a função crescer sem limite, dependendo dos sinais de $ x $ e $ y $.
Passo 9
Portanto, a função não possui um máximo local no domínio analisado, já que pode crescer indefinidamente conforme $ x + y $ se aproxima de 3.
Resposta
A função $ f(x, y) = \frac{xy}{3 - x - y} $ não possui um máximo local.