Encontre o máximo local da função f(x, y)=x y3-x-y.

Passo 1

Beleza, vamos encontrar o máximo local da função $ f(x, y) = \frac{xy}{3 - x - y} $. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a função pode atingir esses máximos.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos da função, que são candidatos a máximos ou mínimos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $:
x

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
y

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
fx = 3y - y^2(3 - x - y)^2 = 0 implies 3y - y^2 = 0 implies y(3 - y) = 0 implies y = 0 ou y = 3
fy = 3x - x^2(3 - x - y)^2 = 0 implies 3x - x^2 = 0 implies x(3 - x) = 0 implies x = 0 ou x = 3

Passo 6

Agora, vamos analisar as combinações possíveis de $ x $ e $ y $:
  1. $ x = 0 $ e $ y = 0 $: $ f(0,0) = 0 $
  2. $ x = 0 $ e $ y = 3 $: $ f(0,3) = 0 $
  3. $ x = 3 $ e $ y = 0 $: $ f(3,0) = 0 $
  4. $ x = 3 $ e $ y = 3 $: Aqui o denominador fica $ 3 - 3 - 3 = -3 $, então $ f(3,3) = \frac{9}{-3} = -3 $
Nenhum desses pontos parece ser um máximo local, já que os valores não são maiores que outros valores possíveis.

Passo 7

Isso indica que a função pode não ter um máximo local dentro do domínio considerado, ou que o máximo ocorre nas fronteiras da região definida.

Passo 8

Observando a função $ f(x, y) = \frac{xy}{3 - x - y} $, percebemos que se $ x + y $ se aproxima de 3, o denominador tende a zero, fazendo a função crescer sem limite, dependendo dos sinais de $ x $ e $ y $.

Passo 9

Portanto, a função não possui um máximo local no domínio analisado, já que pode crescer indefinidamente conforme $ x + y $ se aproxima de 3.

Resposta

A função $ f(x, y) = \frac{xy}{3 - x - y} $ não possui um máximo local.

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