(a) Para
, mostre que
tende para 1 quando
se torna muito grande.
Dica: Mostre que para qualquer
, não podemos ter
para
grande.
(b) Mais geralmente, se
, então
tende para 1 quando
se torna muito grande.
Referências
[1] Michael D. Spivak, Calculus, 4th ed., Publish or Perish, Inc, 2008.
(b) Mais geralmente, se
Passo 1
Nesta questão queremos mostrar que a sequência
converge para 1 quando
. O conteúdo envolvido é limite de sequência, definição
e propriedades de logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Suponha primeiro que
e seja dado
. Como
, bastará garantir que
. Se por absurdo tivermos
, então aplicando logaritmo natural obtemos
Desse modo
Basta então escolher
e, para todo
, temos
, isto é,
.
Passo 3
Para o caso geral
: se
então
para todo
e está feito. Se
, defina
. Então
Pelo item anterior
, logo
. Assim, também neste caso
.