(a) Para c>1, mostre que c^1 / n=raiz[n]c tende para 1 quando n se torna muito grande.
Dica: Mostre que para qualquer varepsilon>0, não podemos ter c^1 / n>1+varepsilon para n grande.
(b) Mais geralmente, se c>0, então c^1 / n tende para 1 quando n se torna muito grande.

Referências

[1] Michael D. Spivak, Calculus, 4th ed., Publish or Perish, Inc, 2008.

Passo 1

Nesta questão queremos mostrar que a sequência an = c^1/n converge para 1 quando ntoinfty. O conteúdo envolvido é limite de sequência, definição forall,varepsilon>0 e propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Suponha primeiro que c>1 e seja dado varepsilon>0. Como c^1/n>1, bastará garantir que c^1/n<1+varepsilon. Se por absurdo tivermos c^1/n>=1+varepsilon, então aplicando logaritmo natural obtemos
1nln c >= ln(1+varepsilon)
Desse modo
n <= ln cln(1+varepsilon)
Basta então escolher
N = lceil ln cln(1+varepsilon) rceil
e, para todo n>N, temos c^1/n<1+varepsilon, isto é, |c^1/n-1|.

Passo 3

Para o caso geral c>0: se c=1 então c^1/n=1 para todo n e está feito. Se 0, defina d=1/c>1. Então
c^1/n=1d^1/n
Pelo item anterior d^1/nto1, logo 1/d^1/nto1. Assim, também neste caso c^1/nto1.

Resposta

limntoinftyc^1/n=1.

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