Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
z=x^2 y+3 x y^4, x=sin (2 t), y=cos (t), t=0
(Sol. 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas de $ z = x^{2} y + 3x y^{4} $ onde $ x = \sin(2t) $, $ y = \cos(t) $ e queremos avaliar em $ t = 0 $. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas, especificamente derivadas compostas usando a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar regras de derivação para funções compostas e também entender um pouco sobre como manipular as funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas. Se temos uma função $ z $ que depende de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ dependem de $ t $, então a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
z
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
z
x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
x
y

Passo 5

Substituímos agora essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
dzdt = (2xy + 3y^4) cdot 2cos(2t) + (x^2 + 12xy^3) cdot (-sin(t))

Passo 6

Agora, vamos substituir $ x = \sin(2t) $ e $ y = \cos(t) $ na expressão acima:
x = sin(2t)

Passo 7

Por fim, vamos avaliar essa expressão em $ t = 0 $:
Sabemos que $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $, então:
t = 0

Resposta

A derivada de $ z $ em relação a $ t $ em $ t = 0 $ é $ \frac{dz}{dt} = 6 $.

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