Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
(Sol. 6)
(Sol. 6)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas de $ z = x^{2} y + 3x y^{4} $ onde $ x = \sin(2t) $, $ y = \cos(t) $ e queremos avaliar em $ t = 0 $. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas, especificamente derivadas compostas usando a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar regras de derivação para funções compostas e também entender um pouco sobre como manipular as funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a encontrar a derivada de funções compostas. Se temos uma função $ z $ que depende de $ x $ e $ y $, e $ x $ e $ y $ dependem de $ t $, então a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Passo 5
Substituímos agora essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ x = \sin(2t) $ e $ y = \cos(t) $ na expressão acima:
Passo 7
Por fim, vamos avaliar essa expressão em $ t = 0 $:
Sabemos que $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $, então:
Resposta
A derivada de $ z $ em relação a $ t $ em $ t = 0 $ é $ \frac{dz}{dt} = 6 $.