O preço p (em reais) de um par de tênis Mike está variando a uma taxa dada por
onde x (em centenas de unidades) é o número de pares vendidos. Suponha que 500 pares de tênis
sejam vendidos quando o preço é de RS 75,00 o par:
Qual é o preço para que sejam vendidos 400 pares de tênis? Qual é o preço para que não seja vendido nenhum par?
Qual é o preço para que sejam vendidos 400 pares de tênis? Qual é o preço para que não seja vendido nenhum par?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a taxa de variação do preço $ p $ de um par de tênis em relação ao número de pares vendidos, representada por $ P’(x) = \frac{-150 \cdot x}{(144 + x{2}){3/2}} $, onde $ x $ é o número de pares vendidos em centenas. Sabemos que quando 500 pares (ou seja, $ x = 5 $) são vendidos, o preço de cada par é R$75,00. Precisamos descobrir:
- Qual será o preço quando 400 pares forem vendidos?
- Qual será o preço quando nenhum par for vendido?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, já que temos a derivada do preço e precisamos encontrar a função do preço em si.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função do preço $ p(x) $ integrando a taxa de variação $ P’(x) $. A integração é o processo inverso da diferenciação, ou seja, se sabemos a derivada de uma função, podemos encontrar a função original integrando essa derivada.
A fórmula que vamos integrar é:
Passo 3
Vamos integrar $ P’(x) $ para encontrar $ p(x) $:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição $ u = 144 + x^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos $ u^{-3/2} $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Então, temos:
Lembrando que $ u = 144 + x^{2} $, substituímos de volta:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que quando $ x = 5 $, $ p(5) = 75 $:
Passo 7
Agora que encontramos $ C $, a função do preço fica:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Para facilitar os cálculos, podemos deixar essa forma ou aproximar os valores conforme necessário.
Passo 9
Agora, vamos encontrar o preço quando 400 pares forem vendidos. Isso corresponde a $ x = 4 $ (já que $ x $ é em centenas).
Substituímos $ x = 4 $ na função $ p(x) $:
Arredondando, o preço é aproximadamente R$75,31.
Passo 10
Agora, vamos encontrar o preço quando nenhum par for vendido, ou seja, $ x = 0 $.
Substituímos $ x = 0 $ na função $ p(x) $:
Arredondando, o preço é aproximadamente R$75,96.
Resposta
O preço para que sejam vendidos 400 pares de tênis é aproximadamente R$75,31 e para que não seja vendido nenhum par, o preço será de aproximadamente R$75,96.