O preço p (em reais) de um par de tênis Mike está variando a uma taxa dada por P^prime(x)=-150 cdot x(144+x^2)^3 / 2 onde x (em centenas de unidades) é o número de pares vendidos. Suponha que 500 pares de tênis (x=5) sejam vendidos quando o preço é de RS 75,00 o par:
Qual é o preço para que sejam vendidos 400 pares de tênis? Qual é o preço para que não seja vendido nenhum par?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a taxa de variação do preço $ p $ de um par de tênis em relação ao número de pares vendidos, representada por $ P’(x) = \frac{-150 \cdot x}{(144 + x{2}){3/2}} $, onde $ x $ é o número de pares vendidos em centenas. Sabemos que quando 500 pares (ou seja, $ x = 5 $) são vendidos, o preço de cada par é R$75,00. Precisamos descobrir:
  1. Qual será o preço quando 400 pares forem vendidos?
  2. Qual será o preço quando nenhum par for vendido?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, já que temos a derivada do preço e precisamos encontrar a função do preço em si.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função do preço $ p(x) $ integrando a taxa de variação $ P’(x) $. A integração é o processo inverso da diferenciação, ou seja, se sabemos a derivada de uma função, podemos encontrar a função original integrando essa derivada.
A fórmula que vamos integrar é:
p(x)

Passo 3

Vamos integrar $ P’(x) $ para encontrar $ p(x) $:
P'(x)
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição $ u = 144 + x^{2} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
p(x)

Passo 4

Substituindo na integral:
p(x) = integral -150 cdot xu^3/2 cdot du2x = integral -1502 cdot u^3/2 , du = -75 integral u^-3/2 , du

Passo 5

Agora, integramos $ u^{-3/2} $:
u^-3/2
onde $ C $ é a constante de integração.
Então, temos:
integral u^-3/2 , du = -2u^-1/2 + C
Lembrando que $ u = 144 + x^{2} $, substituímos de volta:
C

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que quando $ x = 5 $, $ p(5) = 75 $:
C
x = 5

Passo 7

Agora que encontramos $ C $, a função do preço fica:
C

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
p(x) = 150raiz144 + x^2 + 82513
Para facilitar os cálculos, podemos deixar essa forma ou aproximar os valores conforme necessário.

Passo 9

Agora, vamos encontrar o preço quando 400 pares forem vendidos. Isso corresponde a $ x = 4 $ (já que $ x $ é em centenas).
Substituímos $ x = 4 $ na função $ p(x) $:
x = 4
x
Arredondando, o preço é aproximadamente R$75,31.

Passo 10

Agora, vamos encontrar o preço quando nenhum par for vendido, ou seja, $ x = 0 $.
Substituímos $ x = 0 $ na função $ p(x) $:
x = 0
Arredondando, o preço é aproximadamente R$75,96.

Resposta

O preço para que sejam vendidos 400 pares de tênis é aproximadamente R$75,31 e para que não seja vendido nenhum par, o preço será de aproximadamente R$75,96.

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