Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial com condição dydx=(1+y^2)tg x. O conteúdo aqui é resolução de EDO por separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro isolemos as variáveis envolvendo y de um lado e x do outro. Podemos escrever

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados: de um lado temos a integral de 1/(1+y^2) e do outro a de . Então:

No lado esquerdo aparece a função arco-tangente e no direito usamos . Então:
tg x

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=raiz3. Quando x=0, temos cos0=1 e arctan(raiz3)=pi3. Logo
tfracpi3 = -ln|1| + C = 0 + C implies C = tfracpi3

Passo 5

Substituindo C na expressão geral, obtemos
arctan y = pi3 - ln|cos x|

Passo 6

Por fim, aplicamos a função tangente em ambos os lados para isolar y:
y(x) = tanl(tfracpi3 - ln|cos x|r)

Resposta

y(x) = tanl(tfracpi3 - ln|cos x|r)

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