Ache os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto -infty xl(1-costfrac1xr). O conteúdo é limite de função quando a variável tende a infinito, e vamos precisar usar substituição para transformar num limite quando a variável tende a zero e aplicar a expansão em série de Taylor de cos t.

Passo 2

Fazemos a substituição t=tfrac1x. Quando xto -infty, temos tto 0^- e x=tfrac1t. Assim o limite vira
xl(1-costfrac1xr)=1tl(1-cos tr)=1-cos tt

Passo 3

Como tto 0, usamos a expansão de Taylor de segunda ordem para cos t:
cos t=1-t^22+o(t^2)
Logo
$$
1-\cos t=\frac{t2}{2}+o(t2)
$$

Passo 4

Portanto
1-cos tt=tfract^22+o(t^2)t=t2+o(t)
Como tto 0, segue que t2+o(t)to 0. Assim o limite original é 0.

Resposta

0

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