Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integralx^2^infty e^-t ln t d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função definida por uma integral imprópria com limite inferior variável; o conteúdo é a Regra de Leibniz para derivadas de integrais dependentes de parâmetro e também vamos usar Cadeia para o limite inferior x^2.

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que, para F contínua e funções a(x),b(x), vale:
ddxintegrala(x)^b(x)F(t),dt=Fl(b(x)r),b'(x)-Fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

No nosso caso temos F(t)=e^-tln t, limite superior b(x)=infty (constante, então b'(x)=0) e limite inferior a(x)=x^2 com a'(x)=2x. Aplicando a fórmula obtemos
f'(x)=0 - e^-,x^2lnl(x^2r)cdot2x = -2x,e^-x^2lnl(x^2r)

Passo 4

Para simplificar, note que ln(x^2)=2ln|x|. Logo
f'(x)=-2x,e^-x^2cdot2ln|x|=-4x,e^-x^2ln|x|

Resposta

f’(x) = -4x,e{-x2}\ln|x|

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