Verifique se as retas r, s, t e o plano π determinam um tetraedro e calcule seu volume.
Dados:
π: x+y-z+1=0, r: {x=y, x=z+1}
s: {x+y=0, z+1=0} t: {x+y-z=1, x=0}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as três retas
r: \begin{cases}x=y,\\\ x=z+1,\end{cases} \quad s: \begin{cases}x+y=0,\\\ z+1=0,\end{cases} \quad t: \begin{cases}x+y-z=1,\\\ x=0,\end{cases}
e o plano
\pi:\;x+y-z+1=0
formam um tetraedro (isto é, se produzem quatro vértices distintos no espaço e fecham um poliedro de volume não nulo). Para isso precisamos:
1. Determinar onde (e se) cada par de retas se intersecta, pois essas interseções seriam vértices comuns.
2. Determinar onde (e se) cada reta corta o plano \pi, pois esses pontos seriam os outros vértices.
3. Concluir se há quatro vértices distintos e, em caso afirmativo, calcular o volume pelo determinante dos vetores de arestas que se encontram num mesmo vértice.

Passo 2

Calcular a interseção de r, s e t entre si.
Como r\cap s: da reta r temos x=y e z=x-1. Na reta s vale x+y=0, logo y=-x. Igualando y de r e s
x = -x \;\Rightarrow\; x=0,\quad y=0,\quad z=0-1=-1.
Logo r\cap s=\{(0,0,-1)\}.
Agora r\cap t: em t vale x=0, então na reta r x=0 y=0 e z=-1. Logo r\cap t=\{(0,0,-1)\}.
Por fim s\cap t: em s z=-1 e x+y=0; em t x=0 e x+y-z=1. Substituindo x=0 em s vem y=0 e z=-1. Então de novo (0,0,-1).
Conclusão: as três retas são concorrentes em
P=(0,0,-1).

Passo 3

Verificar se esse ponto P pertence ao plano \pi:
x+y-z+1\bigl|_{(0,0,-1)} = 0+0-(-1)+1=2\neq0.
Logo P\notin\pi. Esse ponto é um vértice comum das três retas, mas não pertence ao plano.

Passo 4

Determinar a interseção de cada reta com o plano \pi.
1. Em r: x=y=t, z=t-1. Substituindo em \pi:
t + t - (t-1) +1 = 2t - t +1 +1 = t +2 = 0 \;\Rightarrow\;t=-2.
Ponto A = (-2,-2,-3).
2. Em s: x+y=0\implies y=-x, z=-1. Em \pi
x+(-x)-(-1)+1 = 0+1+1=2\neq0,
não há solução: s\parallel\pi.
3. Em t: x=0, x+y-z=1\implies y-z=1. Em \pi:
0 + y - z +1 = (y-z)+1 = 1+1=2\neq0,
também não há solução: t\parallel\pi.

Passo 5

Como as retas s e t são paralelas ao plano \pi, elas não o interceptam e, portanto, não é possível obter quatro vértices distintos que fechem um tetraedro.

Resposta

As retas r, s, t e o plano \pi não determinam um tetraedro, pois duas das retas são paralelas ao plano. Consequentemente, não há volume a ser calculado.

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