Ache a série de Fourier para
em
de periodicidade
e deduza que
Passo 1
A questão pede para expandir a função f(x)=x²+x, definida em (−π,π) e estendida periodicamente de período 2π, em série de Fourier, e depois usar essa expansão para obter a soma ∑ₙ₌₁^∞1/n²=π²/6.
Passo 2
O conteúdo é Séries de Fourier de período 2π. Vamos usar a forma canônica:
com os coeficientes
Passo 3
Calculamos a₀: como ∫_{-π}{π}x²dx=2∫₀{π}x²dx=2·π³/3 e ∫_{-π}^{π}x dx=0, temos
Passo 4
Para aₙ note que a parte x·cos(nx) é ímpar×par, integra zero. Resta
Passo 5
Para bₙ a parte x²·sin(nx) é par×ímpar, dá zero. A parte x·sin(nx) é ímpar×ímpar, dá
Passo 6
Portanto a série de Fourier é
Passo 7
Para obter ∑1/n² usamos a convergência em x=π. No ponto de descontinuidade oscilamos para a média
Resposta
A série de Fourier de f(x)=x²+x é