Ache a série de Fourier para f(x)=x^2+x em (-pi, pi) de periodicidade 2 pi e deduza que
sumn=1^infty 1n^2=pi^26

Passo 1

A questão pede para expandir a função f(x)=x²+x, definida em (−π,π) e estendida periodicamente de período 2π, em série de Fourier, e depois usar essa expansão para obter a soma ∑ₙ₌₁^∞1/n²=π²/6.

Passo 2

O conteúdo é Séries de Fourier de período 2π. Vamos usar a forma canônica: f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)com os coeficientes
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx, a0=1piintegral-pi^pif(x),dx

Passo 3

Calculamos a₀: como ∫_{-π}{π}x²dx=2∫₀{π}x²dx=2·π³/3 e ∫_{-π}^{π}x dx=0, temos
a0=1piintegral-pi^pi(x^2+x)dx=2pi^3/3pi=2pi^23,logo a0/2=pi^2/3.

Passo 4

Para aₙ note que a parte x·cos(nx) é ímpar×par, integra zero. Resta
In=integral-pi^pix^2cos(nx),dx=4pi(-1)^nn^2 (integração por partes em [0,π] e simetria). Então
an=1piIn=4(-1)^nn^2

Passo 5

Para bₙ a parte x²·sin(nx) é par×ímpar, dá zero. A parte x·sin(nx) é ímpar×ímpar, dá
integral-pi^pixsin(nx)dx=2integral0^pixsin(nx)dx=-2pi(-1)^nnLogo
bn=1pi(-2pi(-1)^nn)=2(-1)^n+1n

Passo 6

Portanto a série de Fourier é
x^2+x=pi^23+sumn=1^inftyl(4(-1)^nn^2cos(nx)+2(-1)^n+1nsin(nx)r)

Passo 7

Para obter ∑1/n² usamos a convergência em x=π. No ponto de descontinuidade oscilamos para a média
S(pi)=f(pi^-)+f(-pi^+)2=(pi^2+pi)+(pi^2-pi)2=pi^2Pela série em x=π (sin termos zero, cos(nπ)=(-1)^n) vem
pi^2=pi^23+4sumn=1^infty1n^2,logo
sumn=1^infty1n^2=pi^26

Resposta

A série de Fourier de f(x)=x²+x é
x^2+x=pi^23+sumn=1^inftyl(4(-1)^nn^2cos(nx)+2(-1)^n+1nsin(nx)r)e, avaliando em x=π, deduz-se
sumn=1^infty1n^2=pi^26

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