Obtenha os coeficientes de Fourier de f(x)=k, onde k é uma constante, a periodicidade sendo 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes da série de Fourier de período 2π para a função constante f(x)=k. Vamos usar as fórmulas padrão de séries de Fourier num intervalo simétrico [-π,π].

Passo 2

A série de Fourier de uma função de período 2π é dada por:
f(x) sim a02 + sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)
com os coeficientes
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 3

Vamos calcular a0:
a0=1piintegral-pi^pik,dx=kpil[xr]-pi^pi=kpi(pi-(-pi))=2pi kpi=2k

Passo 4

Agora, para an com n>=1:
an=1piintegral-pi^pikcos(nx),dx=kpil[sin(nx)nr]-pi^pi= rackpi nl(sin(npi)-sin(-npi)r)=0

Passo 5

Finalmente, para bn com n>=1:
bn=1piintegral-pi^piksin(nx),dx=kpil[-cos(nx)nr]-pi^pi= rackpi nl(cos(-npi)-cos(npi)r)=0

Resposta

Os coeficientes são:
a0=2k, e para todo n>=1 vale an=0 e bn=0.

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