Ache a série de Fourier do cosseno para
em
. Quem é a série de Fourier dos senos em
?
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função f(x)=\sin x, definida em [0,\pi], em duas séries de Fourier diferentes: a série de cossenos (expansão par) e a série de senos (expansão ímpar). Vamos usar as fórmulas-padrão de coeficientes em [0,\pi].
Passo 2
Para a série de Fourier de cossenos, lembramos que f(x) é estendida de forma par no intervalo [-\pi,\pi] e que os coeficientes A_n são dados por
Aqui f(x)=\sin x.
Passo 3
Agora calculamos o coeficiente geral A_n: usando a identidade
, temos
Cada integral de
de 0 a \pi vale
. Substituindo, obtemos
com cuidado em n=1, que dá A_1=0.
Passo 4
Note que
para n ímpar, e vale 2 para n par. Escrevendo n=2k, chegamos a
e todos os A_{2k-1}=0.
Passo 5
Logo a série de cossenos fica
Passo 6
Para a série de Fourier de senos, estendemos f(x) de forma ímpar e usamos
Essa integral é zero para todo n≠1 e vale 1 para n=1, de modo que b_1=1 e b_n=0 (n≠1).
Resposta
Para a série de cossenos:
Para a série de senos:
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