Ache a série de Fourier do cosseno para f(x)=sin x em [0, pi]. Quem é a série de Fourier dos senos em [0, pi]?

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(x)=\sin x, definida em [0,\pi], em duas séries de Fourier diferentes: a série de cossenos (expansão par) e a série de senos (expansão ímpar). Vamos usar as fórmulas-padrão de coeficientes em [0,\pi].

Passo 2

Para a série de Fourier de cossenos, lembramos que f(x) é estendida de forma par no intervalo [-\pi,\pi] e que os coeficientes A_n são dados por
An=2piintegral0^pif(x)cos(nx),dx
Aqui f(x)=\sin x.

Passo 3

Agora calculamos o coeficiente geral A_n: usando a identidade sin xcos(nx)=tfrac12[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)], temos
An=2piintegral0^pisin xcos(nx),dx =1piintegral0^pi[sin((n+1)x)+sin((1-n)x)],dx
Cada integral de sin(kx) de 0 a \pi vale (1-(-1)^k)/k. Substituindo, obtemos
An=1pil(1-(-1)^n+1n+1+1-(-1)^1-n1-nr) = -2pi1+(-1)^nn^2-1,
com cuidado em n=1, que dá A_1=0.

Passo 4

Note que 1+(-1)^n=0 para n ímpar, e vale 2 para n par. Escrevendo n=2k, chegamos a
A2k=-4pi(4k^2-1),
e todos os A_{2k-1}=0.

Passo 5

Logo a série de cossenos fica
sin x=-sumk=1^infty4pi(4k^2-1)cos(2k x)

Passo 6

Para a série de Fourier de senos, estendemos f(x) de forma ímpar e usamos
bn=2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx =2piintegral0^pisin xsin(nx),dx
Essa integral é zero para todo n≠1 e vale 1 para n=1, de modo que b_1=1 e b_n=0 (n≠1).

Resposta

Para a série de cossenos:
sin x=-sumk=1^infty4pi(4k^2-1)cos(2k x)
Para a série de senos:
bn=2piintegral0^pisin xsin(nx),dx=1,&n=1,0,&nneq1,
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sin x=sumn=1^inftybnsin(nx)=sin x

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