Para o homomorfismo
, definido por
, determine o núcleo de
.
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que fala sobre homomorfismos entre grupos, especificamente de $ GL(2, \mathbb{R}) $ para $ \mathbb{R}^{} $. O que isso significa? Basicamente, $ GL(2, \mathbb{R}) $ é o grupo de todas as matrizes 2x2 invertíveis com entradas reais, e $ \mathbb{R}^{} $ é o grupo dos números reais não nulos com a multiplicação. A função $ \phi $ está definida como $ \phi(A) = \det(A) $, ou seja, ela associa a cada matriz seu determinante. Nosso objetivo aqui é encontrar o núcleo de $ \phi $, que é o conjunto de todas as matrizes em $ GL(2, \mathbb{R}) $ que são enviadas para o elemento neutro de $ \mathbb{R}^{*} $, que nesse caso é 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de um homomorfismo. O núcleo, denotado por $ \ker(\phi) $, é o conjunto de todos os elementos do domínio que são mapeados para o elemento neutro do codomínio. No nosso caso, o codomínio é $ \mathbb{R}^{*} $ com a operação de multiplicação, então o elemento neutro é o número 1. Assim, queremos encontrar todas as matrizes $ A $ em $ GL(2, \mathbb{R}) $ tais que $ \phi(A) = \det(A) = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas propriedades das matrizes em $ GL(2, \mathbb{R}) $. Essas matrizes são todas invertíveis, o que significa que seus determinantes são diferentes de zero. Portanto, o determinante pode ser qualquer número real não nulo. Mas estamos interessados apenas naquelas matrizes cujo determinante é exatamente 1.
Passo 4
Então, o núcleo de $ \phi $ é o conjunto de todas as matrizes em $ GL(2, \mathbb{R}) $ com determinante igual a 1. Esse conjunto é conhecido como $ SL(2, \mathbb{R}) $, que é o grupo das matrizes 2x2 com determinante 1. Portanto, $ \ker(\phi) = SL(2, \mathbb{R}) $.
Resposta
O núcleo de $ \phi $ é o conjunto $ SL(2, \mathbb{R}) $, ou seja, todas as matrizes 2x2 invertíveis com determinante igual a 1.