Ache a série de Fourier de f no intervalo dado
f(x)=x^{2}, 0<x<2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=x^2 no intervalo 0<x<2\pi, estendida periodicamente com período 2\pi. Vamos usar a forma geral da série de Fourier em [0,2\pi]:
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr)
com
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calculamos a_0:
\int_{0}^{2\pi}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^3}{3}=\frac{8\pi^3}{3},
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a_0=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{8\pi^3}{3}=\frac{8\pi^2}{3}.

Passo 3

Calculamos a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
\int_{0}^{2\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\frac{4\pi}{n^2},
portanto
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{4\pi}{n^2}=\frac{4}{n^2}.

Passo 4

Calculamos b_n para n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x^2\sin(nx)\,dx.
Novamente por partes duas vezes obtemos
\int_{0}^{2\pi}x^2\sin(nx)\,dx=-\frac{4\pi^2}{n},
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b_n=\frac{1}{\pi}\bigl(-\frac{4\pi^2}{n}\bigr)=-\frac{4\pi}{n}.

Resposta

x^2=\frac{4\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{4}{n^2}\cos(nx)-\frac{4\pi}{n}\sin(nx)\Bigr), \quad 0<x<2\pi.

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