Ache a série de Fourier de f no intervalo dado
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}1, & -5<x<0 \\\\ 1+x, & 0 \leq x<5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2L=10\) para a função \[f(x)=\begin{cases} 1,&-5<x<0,\\\\ 1+x,&0\le x<5. \end{cases}
Estamos em um intervalo simétrico [-L,L]\] com \(L=5. A série de Fourier geral é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\Bigr),
onde
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 2

Calculemos primeiro a_0:
a_0=\frac{1}{5}\Bigl(\int_{-5}^{0}1\,dx+\int_{0}^{5}(1+x)\,dx\Bigr) =\frac{1}{5}\Bigl[5+\bigl(x+\tfrac{x^2}{2}\bigr)\Big|_{0}^{5}\Bigr] =\frac{1}{5}\Bigl[5+(5+\tfrac{25}{2})\Bigr] =\frac{9}{2}.
Logo \tfrac{a_0}{2}=\tfrac{9}{4}.

Passo 3

Agora a_n. Como a integral se separa em [-5,0] e [0,5], notamos que
\int_{-5}^{0}1\cdot\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr)\,dx=0
pois \sin(n\pi)=0. No trecho [0,5] temos
\int_{0}^{5}(1+x)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr)\,dx =\int_{0}^{5}\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr)\,dx +\int_{0}^{5}x\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr)\,dx.
A primeira parte também zera. A segunda, por partes, dá
\int_{0}^{5}x\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr)\,dx =\frac{25}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Logo
a_n =\frac{1}{5}\cdot\frac{25}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr) =\frac{5}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Em particular a_n=0 se n é par e a_n=-\tfrac{10}{n^2\pi^2} se n é ímpar.

Passo 4

Para b_n fazemos o mesmo desmembramento. Após cálculo por partes, chega-se a
b_n =\frac{1}{5}\int_{-5}^{5}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr)\,dx =\frac{5(-1)^{\,n+1}}{n\pi}.

Passo 5

Reunindo, a série de Fourier de f em [-5,5] é
f(x)\sim \frac{9}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{5}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr) +\frac{5(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr) \Bigr].

Resposta

f(x)\sim \frac{9}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{5}{n^2\pi^2}\bigl((-1)^n-1\bigr)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr) +\frac{5(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{5}\bigr) \Bigr].

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