(a) Ache uma série de potência para
, e integre a série resultante termo a termo de 0 a 1 .
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
.
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para usar séries de potência e integração termo a termo. No item (a) vamos expandir
como série e depois integrar de
a
. No item (b) vamos comparar o valor dessa integral com a soma da série
.
Passo 2
Começamos pela expansão de
em série de Taylor centrada em
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
a
:
Passo 4
Por outro lado, calculamos a mesma integral por partes. Seja
Tomando
,
temos
,
, logo
Avaliada de
a
:
Passo 5
Igualando as duas formas de
, temos
O termo de
é
, portanto