(a) Ache uma série de potência para x e^{x}, e integre a série resultante termo a termo de 0 a 1 .
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!(n+2)}=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para usar séries de potência e integração termo a termo. No item (a) vamos expandir x e^x como série e depois integrar de 0 a 1. No item (b) vamos comparar o valor dessa integral com a soma da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!(n+2)}.

Passo 2

Começamos pela expansão de \exp(x) em série de Taylor centrada em 0:
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
Multiplicando por x obtemos
x e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x e^x\,dx = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^{n+1}\,dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot\frac{1}{n+2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+2)}.

Passo 4

Por outro lado, calculamos a mesma integral por partes. Seja
I=\int x e^x\,dx.
Tomando u=x, dv=e^x\,dx temos du=dx, v=e^x, logo
I = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.
Avaliada de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x e^x\,dx = \bigl[e^x(x-1)\bigr]_{0}^{1} = \bigl(e\cdot0 - e\bigr) - \bigl(1\cdot(-1)\bigr) = -e +1 = 1.

Passo 5

Igualando as duas formas de \displaystyle\int_{0}^{1}x e^x\,dx, temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+2)} = 1.
O termo de n=0 é \tfrac{1}{0!\,(0+2)}=\tfrac12, portanto
\frac12 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!(n+2)} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!(n+2)} = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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