(2,0) Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+3}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste de comparação com uma série geométrica de razão menor que 1.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação, observamos que, para todo n\ge1,
3^{n}+3 \;\ge\; 3^{n} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3^{n}+3} \;\le\; \frac{1}{3^{n}}.
A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}
é uma série geométrica de razão r=\tfrac13 e, como |r|<1, ela converge.

Passo 3

Pelo teste de comparação direta, como
0 \;\le\; \frac{1}{3^{n}+3} \;\le\; \frac{1}{3^{n}}
e a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+3}
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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